Questão de Raciocínio Lógico-Quantitativo · FGV CGU 2021 (nº 25)

Para contar arranjos (anagramas) de letras onde algumas se repetem, usamos a fórmula de permutação com repetição: $P_n^{n_1, n_2, ..., n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$, onde $n$ é o total de elementos e $n_i$ é o número de vezes que cada elemento repetido aparece. Quando a questão pede "A OU B", usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão: $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$, para evitar contar duas vezes os casos que satisfazem A e B simultaneamente.

A palavra CONCURSO tem 8 letras no total. As letras que se repetem são C (2 vezes) e O (2 vezes).

1. Anagramas que começam com C (N(A)): Fixamos um 'C' na primeira posição. Sobram 7 letras (O, N, C, U, R, S, O) para permutar. Dessas 7, a letra 'O' se repete 2 vezes.
   $N(A) = P_7^2 = \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
2. Anagramas que terminam com O (N(B)): Fixamos um 'O' na última posição. Sobram 7 letras (C, O, N, C, U, R, S) para permutar. Dessas 7, a letra 'C' se repete 2 vezes.
   $N(B) = P_7^2 = \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
3. Anagramas que começam com C E terminam com O (N(A ∩ B)): Fixamos um 'C' na primeira posição E um 'O' na última posição. Sobram 6 letras (O, N, C, U, R, S) para permutar. Dessas 6, NENHUMA se repete (o outro 'C' e o outro 'O' são únicos entre as restantes).
   $N(A \cap B) = P_6 = 6! = 720$.
4. Aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão:
   $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B) = 2520 + 2520 - 720 = 5040 - 720 = 4320$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (C) Correta: O resultado de 4.320 é obtido aplicando corretamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, somando os anagramas que começam com C e os que terminam com O, e subtraindo aqueles que satisfazem ambas as condições para não contá-los duas vezes.
• (D) Incorreta: Este valor (5.040) seria obtido se o Princípio da Inclusão-Exclusão não fosse aplicado corretamente, ou seja, se apenas somássemos $N(A) + N(B)$ sem subtrair a interseção $N(A \cap B)$. Essa é uma armadilha comum para quem esquece que os casos que começam com C E terminam com O são contados tanto em N(A) quanto em N(B).
• (E) Incorreta: Este valor (10.080) representa o total de anagramas da palavra CONCURSO sem nenhuma restrição, ou seja, $P_8^{2,2} = \frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$.