Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 53)

Quando fazemos depósitos (ou pagamentos) em uma sequência onde cada valor é um percentual fixo maior ou menor que o anterior, estamos lidando com uma série de pagamentos em progressão geométrica. Se esses depósitos são feitos no início de cada período (antecipados) e o dinheiro rende juros compostos, o montante final é calculado por uma fórmula específica que considera tanto o crescimento dos depósitos quanto os juros.

Cálculo detalhado:

1. Identificar os dados:

   • Primeiro depósito ($P_1$) = R$ 3.700,00
   • Número de depósitos ($n$) = 12 meses
   • Taxa de crescimento dos depósitos ($g$) = 20% = 0,20 ao mês
   • Taxa de juros compostos ($i$) = 1,5% = 0,015 ao mês
   • Depósitos antecipados.
   • Resgate um mês após o último depósito (o que significa que o montante final é calculado ao final do 12º mês).
   • Tarifa bancária = 10% do montante.

2. Fórmula para o Montante de uma Série de Pagamentos Antecipados em Progressão Geométrica:
   A fórmula para o valor futuro (montante) de uma série de $n$ pagamentos antecipados em progressão geométrica, onde $P_1$ é o primeiro pagamento, $i$ é a taxa de juros e $g$ é a taxa de crescimento dos pagamentos (com $g \neq i$), é:
   FV = P_1 \times (1+i) \times \frac{(1+g)^n - (1+i)^n}{g-i}\

3. Substituir os valores na fórmula:

   • $(1+i) = 1 + 0,015 = 1,015$
   • $(1+g) = 1 + 0,20 = 1,20$
   • $(1+i)^n = (1,015)^{12} \approx 1,20$ (dado)
   • $(1+g)^n = (1,20)^{12} \approx 9,00$ (dado)
   • $g-i = 0,20 - 0,015 = 0,185$

   $FV = 3700 \times (1,015) \times \frac{9,00 - 1,20}{0,185}$
   FV = 3700 \times 1,015 \times \frac{7,80}{0,185}\

4. Calcular a fração:
   \frac{7,80}{0,185} = \frac{7800}{185} = \frac{1560}{37}\

5. Continuar o cálculo do Montante Bruto (FV):
   $FV = 3700 \times 1,015 \times \frac{1560}{37}$
   $FV = (\frac{3700}{37}) \times 1560 \times 1,015$
   $FV = 100 \times 1560 \times 1,015$
   $FV = 156000 \times 1,015$
   $FV = 156000 + (156000 \times 0,015)$
   $FV = 156000 + 2340$
   $FV = 158340$

   Este é o montante bruto no momento do resgate (final do 12º mês).

6. Calcular o Valor Líquido Resgatado:
   As tarifas bancárias são de 10% do montante.
   Tarifa = $0,10 \times 158340 = 15834$
   Valor líquido resgatado = Montante Bruto - Tarifa
   Valor líquido resgatado = $158340 - 15834 = 142506$

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se os depósitos fossem postecipados (feitos no final de cada período) em vez de antecipados. A fórmula para pagamentos postecipados não inclui o fator $(1+i)$ multiplicando o termo da série, resultando em $156000 \times 0,90 = 140400$. Essa é uma armadilha comum para quem não presta atenção à condição "antecipados".
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (E) Correta: O valor de R$ 142.506,00 é o resultado correto após aplicar a fórmula de montante para série de pagamentos antecipados em progressão geométrica e subtrair as tarifas.