Questão de Econometria · FGV CGE-SC 2022 (nº 44)

Uma série temporal é uma sequência de dados observados ao longo do tempo. Um passeio aleatório é um tipo de série temporal onde o valor atual depende do valor anterior mais um choque aleatório. Se há uma tendência (ou "drift"), significa que a série tem uma inclinação média constante para cima ou para baixo a cada passo.

A armadilha da banca reside na interpretação do modelo. Embora o modelo seja apresentado como $y_t = bt + y_{t-1} + u_t$, onde $t$ é uma tendência temporal, para que a alternativa A seja correta, o modelo deve ser interpretado como um passeio aleatório com uma tendência constante $b$, ou seja, $y_t = b + y_{t-1} + u_t$. A letra $t$ na expressão $bt$ da alternativa A refere-se ao índice de tempo, não ao parâmetro da tendência.

Considerando o modelo $y_t = b + y_{t-1} + u_t$, com $u_t \sim N(0, \sigma^2)$ e $y_0 = 0$:

Cálculo da Média ($E[y_t]$):
$E[y_t] = E[b + y_{t-1} + u_t]$
$E[y_t] = E[b] + E[y_{t-1}] + E[u_t]$
Como $b$ é uma constante e $E[u_t] = 0$:
$E[y_t] = b + E[y_{t-1}]$
Com $E[y_0] = 0$:
$E[y_1] = b + E[y_0] = b$
$E[y_2] = b + E[y_1] = b + b = 2b$
...
$E[y_t] = bt$

Cálculo da Variância ($Var(y_t)$):
$Var(y_t) = Var(b + y_{t-1} + u_t)$
Como $b$ é uma constante, $Var(b + X) = Var(X)$:
$Var(y_t) = Var(y_{t-1} + u_t)$
Como $u_t$ é ruído branco, ele é independente de $y_{t-1}$ (que é uma soma de $u_i$ anteriores e $y_0$). Assim, $Cov(y_{t-1}, u_t) = 0$:
$Var(y_t) = Var(y_{t-1}) + Var(u_t)$
Dado $Var(u_t) = \sigma^2$:
$Var(y_t) = Var(y_{t-1}) + \sigma^2$
Com $y_0 = 0$, $Var(y_0) = 0$:
$Var(y_1) = Var(y_0) + \sigma^2 = 0 + \sigma^2 = \sigma^2$
$Var(y_2) = Var(y_1) + \sigma^2 = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$
...
$Var(y_t) = t\sigma^2$

(A) Correta: A média é $bt$ e a variância é $t\sigma^2$. Esta alternativa está correta se o modelo for interpretado como um passeio aleatório com uma tendência constante $b$, onde o termo $b$ é a tendência e o $t$ na resposta refere-se ao índice de tempo.
(B) Incorreta: A variância de um passeio aleatório com drift é $t\sigma^2$, não $\sigma^2$.
(C) Incorreta: A variância de um passeio aleatório com drift é $t\sigma^2$, não $0$. **(D) Incorreta:** A média de um passeio aleatório com drift constante$b$é$bt, não \0$. **(E) Incorreta:** A média de um passeio aleatório com drift constante$b$é$bt, não \0$.