Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 53)

Juros compostos são juros sobre juros, onde o rendimento de cada período é somado ao capital para gerar mais juros nos períodos seguintes. Uma série de pagamentos crescentes antecipados é quando você faz depósitos regulares que aumentam a cada vez, e esses depósitos são feitos no início de cada período.

Cálculo Detalhado:

1. Identificação dos dados:

   • Número de depósitos (n): 12
   • Primeiro depósito ($P_1$): R$ 3.700,00
   • Taxa de crescimento dos depósitos (g): 20% ao mês = 0,20
   • Taxa de juros (i): 1,5% ao mês = 0,015
   • Depósitos antecipados.
   • Resgate: 1 mês após o último depósito (o que corresponde ao final do 12º período, já que o primeiro depósito é no início do 1º período).
   • Tarifas: 10% do montante.
   • Aproximações: $1,015^{12} = 1,20$; $1,20^{12} = 9,00$.

2. Fórmula do Montante (Valor Futuro) de uma série de pagamentos crescentes antecipados:
   A fórmula para o valor futuro de uma anuidade crescente antecipada, calculada no final do último período (momento do resgate), é:
   M = P_1 \times (1+i) \times \frac{(1+g)^n - (1+i)^n}{g-i}\

3. Aplicação dos valores e aproximações:
   $M = 3700 \times (1+0,015) \times \frac{(1+0,20)^{12} - (1+0,015)^{12}}{0,20 - 0,015}$
   $M = 3700 \times 1,015 \times \frac{1,20^{12} - 1,015^{12}}{0,185}$
   Utilizando as aproximações fornecidas:
   $M = 3700 \times 1,015 \times \frac{9,00 - 1,20}{0,185}$
   $M = 3700 \times 1,015 \times \frac{7,80}{0,185}$
   $M = 3755,5 \times \frac{7,80}{0,185}$
   Para evitar arredondamentos intermediários, calculamos a fração: $\frac{7,80}{0,185} = \frac{780}{18,5} = \frac{7800}{185} = \frac{1560}{37}$.
   $M = 3755,5 \times \frac{1560}{37} = \frac{5858580}{37} = 158340$
   O montante total antes das tarifas é R$ 158.340,00.

4. Cálculo do valor líquido resgatado:
   As tarifas bancárias são 10% do montante:
   Tarifas = $0,10 \times 158340 = 15834$
   Valor líquido resgatado = Montante - Tarifas
   Valor líquido resgatado = $158340 - 15834 = 142506$

Alternativas:

• (A) Incorreta: Provavelmente resultado de erro de cálculo ou arredondamento.
• (B) Incorreta: Armadilha da banca. Este valor (R$ 140.400,00) seria obtido se os depósitos fossem tratados como uma série de pagamentos ordinária (feitos no final do período), e não antecipados (feitos no início do período). A diferença entre anuidade antecipada e ordinária é um fator de $(1+i)$.
• (C) Incorreta: Provavelmente resultado de erro de cálculo ou arredondamento.
• (D) Incorreta: Provavelmente resultado de erro de cálculo ou arredondamento.
• (E) Correta: O valor líquido resgatado é R$ 142.506,00, calculado aplicando a fórmula do montante de uma série de pagamentos crescentes antecipados, considerando a capitalização até um mês após o último depósito e subtraindo as tarifas bancárias de 10%.