Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 49)

No Sistema de Amortizações Constantes (SAC), a amortização (a parte do pagamento que efetivamente reduz o valor da dívida) é sempre a mesma em cada período. O valor total do pagamento, no entanto, diminui ao longo do tempo, pois os juros são calculados sobre o saldo devedor (o valor da dívida que ainda resta) e este saldo diminui a cada pagamento.

Para resolver a questão, precisamos seguir estes passos:

1. Converter a taxa de juros: A taxa é de 20% ao ano com capitalizações semestrais, mas os pagamentos são anuais. Precisamos encontrar a taxa efetiva anual.
   • Taxa semestral = 20% / 2 = 10% ao semestre (0,10).
   • Taxa efetiva anual = $(1 + \text{taxa semestral})^2 - 1 = (1 + 0,10)^2 - 1 = (1,10)^2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21$ ou 21% ao ano.
2. Calcular a amortização constante (A):
   • A = Dívida Principal / Número de Pagamentos
   • A = R$ 300.000,00 / 5 = R$ 60.000,00 por ano.
3. Calcular o saldo devedor antes do último pagamento:
   • Como a amortização é constante, após 4 pagamentos, 4 parcelas da dívida já foram amortizadas.
   • Saldo Devedor antes do 5º pagamento = Dívida Principal - (4 * Amortização)
   • Saldo Devedor antes do 5º pagamento = R$ 300.000,00 - (4 * R$ 60.000,00)
   • Saldo Devedor antes do 5º pagamento = R$ 300.000,00 - R$ 240.000,00 = R$ 60.000,00.
4. Calcular os juros do último pagamento: Os juros são calculados sobre o saldo devedor antes daquele pagamento.
   • Juros do 5º pagamento = Saldo Devedor antes do 5º pagamento * Taxa efetiva anual
   • Juros do 5º pagamento = R$ 60.000,00 * 0,21 = R$ 12.600,00.
5. Calcular o valor do último pagamento:
   • Pagamento = Amortização + Juros
   • Pagamento do 5º ano = R$ 60.000,00 + R$ 12.600,00 = R$ 72.600,00.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto do último pagamento, que inclui a amortização constante e os juros sobre o saldo devedor remanescente com a taxa efetiva anual.
(B) Correta: O valor de R$ 72.600,00 é obtido somando a amortização constante de R$ 60.000,00 com os juros de R$ 12.600,00 (calculados sobre o saldo devedor de R$ 60.000,00 com a taxa efetiva anual de 21%).
(C) Incorreta: (Armadilha da banca) Este valor (R$ 72.000,00) seria o resultado se a taxa de juros nominal de 20% ao ano fosse aplicada diretamente, sem a conversão para a taxa efetiva anual de 21%, ignorando a capitalização semestral. A pegadinha está em não realizar a conversão da taxa de juros quando a capitalização é diferente do período de pagamento.
(D) Incorreta: R$ 12.600,00 representa apenas a parcela dos juros do último pagamento, não o pagamento total (que inclui também a amortização).
(E) Incorreta: R$ 12.000,00 representa apenas a parcela dos juros do último pagamento, caso a taxa nominal de 20% ao ano fosse aplicada diretamente, sem a conversão para a taxa efetiva anual.