Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 47)

O conceito-chave aqui é a equivalência financeira de uma série de pagamentos (uma anuidade) ao valor à vista de um bem, considerando a taxa de juros. Existem dois tipos principais de anuidades para pagamentos iguais: a anuidade antecipada (ou "anuidade imediata com pagamentos no início do período"), onde a primeira prestação é paga no ato da compra, e a anuidade postecipada (ou "anuidade imediata com pagamentos no final do período"), onde a primeira prestação é paga um período após a compra.

Cálculo de PI (Opção I: Primeira prestação no ato da compra - Anuidade Antecipada)
Nesta opção, a primeira prestação (PI) é paga no momento zero (t=0). O valor restante do bem (R$ 1.230,00 - PI) é financiado por um mês, e a segunda prestação (PI) quita o saldo devedor com juros.
A dívida inicial é R$ 1.230,00.
No t=0, paga-se PI. Saldo devedor = $1.230 - PI$.
Este saldo devedor rende juros por um mês: $(1.230 - PI) \times (1 + 0.05)$.
No t=1, a segunda prestação PI é paga, quitando o saldo devedor.
Então, $(1.230 - PI) \times 1.05 = PI$.
$1.230 \times 1.05 - 1.05 \times PI = PI$.
$1.291,50 = PI + 1.05 \times PI$.
$1.291,50 = 2.05 \times PI$.
$PI = 1.291,50 / 2.05$.
PI = R\ 630,00$.

Cálculo de PII (Opção II: Primeira prestação um mês após a compra - Anuidade Postecipada)
Nesta opção, o valor total do bem (R$ 1.230,00) é financiado, e a primeira prestação (PII) é paga no final do primeiro mês (t=1). A segunda prestação (PII) é paga no final do segundo mês (t=2), quitando o saldo devedor.
A dívida inicial é R$ 1.230,00.
No t=1, o valor da dívida com juros é $1.230 \times 1.05 = 1.291,50$. Paga-se PII.
Saldo devedor = $1.291,50 - PII$.
Este saldo devedor rende juros por mais um mês: $(1.291,50 - PII) \times (1 + 0.05)$.
No t=2, a segunda prestação PII é paga, quitando o saldo devedor.
Então, $(1.291,50 - PII) \times 1.05 = PII$.
$1.291,50 \times 1.05 - 1.05 \times PII = PII$.
$1.356,075 = PII + 1.05 \times PII$.
$1.356,075 = 2.05 \times PII$.
$PII = 1.356,075 / 2.05$.
PII = R\ 661,50$.

Cálculo de PII – PI
PII - PI = 661,50 - 630,00 = R\ 31,50$.

Uma observação importante para fixar o conceito: Para o mesmo valor presente, taxa de juros e número de períodos, a prestação de uma anuidade postecipada (PII) é sempre maior do que a de uma anuidade antecipada (PI). A relação entre elas é $PII = PI \times (1+i)$.
Neste caso: $PII = 630 \times (1 + 0.05) = 630 \times 1.05 = 661,50$.
A diferença é $PII - PI = PI \times (1+i) - PI = PI \times i = 630 \times 0.05 = 31,50$.

(A) Correta: O valor $PII - PI$ é R$ 31,50, conforme calculado.
(B) Incorreta: O valor R$ 32,00 não corresponde à diferença exata entre as prestações calculadas.
(C) Incorreta: O valor R$ 32,20 não corresponde à diferença exata entre as prestações calculadas.
(D) Incorreta: O valor R$ 32,50 não corresponde à diferença exata entre as prestações calculadas.
(E) Incorreta: O valor R$ 33,00 não corresponde à diferença exata entre as prestações calculadas. A armadilha aqui seria um erro de cálculo ou arredondamento, especialmente na prestação PII, que pode levar a valores próximos, mas incorretos. Por exemplo, se PII fosse arredondado para 661,43 (devido a arredondamentos intermediários), a diferença seria 31,43.