Questão de Física · FGV CBMAM 2021 (nº 47)

Para um corpo rígido estar em repouso (equilíbrio estático), a soma de todas as forças e a soma de todos os torques (ou momentos de força) que atuam sobre ele devem ser zero. O torque é a tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto (pivô), e é calculado como a força multiplicada pela distância perpendicular do pivô à linha de ação da força.

Vamos analisar as forças e seus torques em relação ao ponto A (a articulação):

1. Peso da barra (P): A barra é homogênea e tem 6 m de comprimento. Seu peso, P = 50 N, atua no centro de massa, que é o ponto médio da barra, ou seja, a 3 m da articulação A.
2. Força da mola (F_mola): A mola está esticada na horizontal e puxa o ponto K.

Primeiro, precisamos determinar a geometria do sistema.

• A articulação A está na origem (0,0).
• O ponto J está 3 m verticalmente acima de A, então J = (0, 3).
• O ponto K está a 1 m da extremidade B, o que significa que K está a (6 m - 1 m) = 5 m de A ao longo da barra.
• Como a mola é horizontal e liga J a K, o ponto K deve ter a mesma altura de J, ou seja, $y_K = 3$ m.
• Seja $\theta$ o ângulo que a barra AB faz com a horizontal. A coordenada y de K é $L_{AK} \sin\theta$, onde $L_{AK} = 5$ m.
• Então, $5 \sin\theta = 3 \implies \sin\theta = 3/5$.
• Usando a relação trigonométrica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, temos $\cos\theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$.

Agora, calculamos os torques em relação a A:

• Torque devido ao peso (P): O peso P = 50 N atua no ponto médio da barra, a 3 m de A. A distância perpendicular do pivô A à linha de ação do peso é $d_P = (3 \text{ m}) \cos\theta$.

  • $d_P = 3 \times (4/5) = 12/5 = 2.4$ m.
  • Este torque tende a girar a barra no sentido horário (negativo, por convenção).
  • $\tau_P = - P \times d_P = - 50 \text{ N} \times 2.4 \text{ m} = -120 \text{ Nm}$.

• Torque devido à força da mola (F_mola): A força da mola age horizontalmente no ponto K. A distância perpendicular do pivô A à linha de ação da força da mola é a altura de K, $d_{F_mola} = y_K = 3$ m.

  • Este torque tende a girar a barra no sentido anti-horário (positivo, por convenção).
  • $\tau_{F_mola} = F_mola \times d_{F_mola} = F_mola \times 3 \text{ m}$.

Para o equilíbrio rotacional, a soma dos torques deve ser zero:
$\sum \tau_A = 0$
$\tau_{F_mola} + \tau_P = 0$
$F_mola \times 3 - 120 = 0$
$3 F_mola = 120$
$F_mola = 40$ N.

Finalmente, usamos a Lei de Hooke para encontrar o alongamento da mola:
$F_mola = k \times \Delta L$
$40 \text{ N} = 400 \text{ N/m} \times \Delta L$
$\Delta L = 40 / 400 = 0.1$ m.
Convertendo para centímetros: $\Delta L = 0.1 \times 100 = 10$ cm.

(A) Correta: O cálculo da força na mola usando o equilíbrio de torques e a posterior aplicação da Lei de Hooke resultam em um alongamento de 10 cm.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado.
(C) Incorreta: Armadilha da banca: Um erro comum seria considerar que o peso da barra atua na extremidade B (6 m de A) em vez de no seu centro de massa (3 m de A). Se o peso fosse considerado a 6 m de A, o torque do peso seria $50 \text{ N} \times (6 \text{ m} \times \cos\theta) = 50 \times (6 \times 4/5) = 50 \times 4.8 = 240 \text{ Nm}$. Isso levaria a uma força na mola de $3 F_{mola} = 240 \implies F_{mola} = 80 \text{ N}$, e um alongamento de $\Delta L = 80 / 400 = 0.2 \text{ m} = 20 \text{ cm}$.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado.