Questão de Raciocínio Lógico · FGV CBMAM 2021 (nº 23)

O Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem) afirma que, se uma decisão pode ser tomada de $X$ maneiras e, independentemente de como a primeira decisão foi tomada, uma segunda decisão pode ser tomada de $Y$ maneiras, então o número total de maneiras de tomar essas duas decisões é $X \times Y$. Usamos esse princípio para combinar as escolhas de dígitos e suas posições.

Vamos analisar as condições da senha:

1. Quatro dígitos no total.
2. Dois dígitos iguais e ímpares:
   • Dígitos ímpares disponíveis: {1, 3, 5, 7, 9}. Há 5 opções.
   • Precisamos escolher 1 desses 5 dígitos, e ele aparecerá duas vezes na senha. (Ex: se escolhermos '1', teremos '1', '1').
   • Número de maneiras de escolher o dígito ímpar: 5.
3. Dois dígitos pares e diferentes entre si:
   • Dígitos pares disponíveis (lembrando que 0 é par): {0, 2, 4, 6, 8}. Há 5 opções.
   • Precisamos escolher 2 desses 5 dígitos, e eles devem ser diferentes. A ordem em que escolhemos esses dois dígitos não importa para formar o conjunto de dígitos (ex: escolher 2 e 4 é o mesmo que escolher 4 e 2). Portanto, usamos Combinação.
   • Número de maneiras de escolher os dois dígitos pares: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Agora, temos os 4 dígitos que compõem a senha. Por exemplo, se escolhemos o ímpar '1' e os pares '2' e '4', os dígitos da senha são {1, 1, 2, 4}. Precisamos arranjá-los nas 4 posições da senha.
Esta é uma permutação com repetição, pois o dígito ímpar se repete duas vezes.
A fórmula para permutações com repetição de $n$ itens, onde um item se repete $n_1$ vezes, outro $n_2$ vezes, etc., é $\frac{n!}{n_1! n_2! ...}$.
Neste caso, $n=4$ (total de dígitos), e o dígito ímpar se repete 2 vezes ($n_1=2$). Os outros dois dígitos (pares) aparecem uma vez cada.
Número de maneiras de arranjar os 4 dígitos: $\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.

Finalmente, aplicamos o Princípio Multiplicativo para combinar todas as etapas:
Total de senhas = (Escolha do dígito ímpar) $\times$ (Escolha dos dois dígitos pares) $\times$ (Arranjo dos 4 dígitos)
Total = $5 \times 10 \times 12 = 600$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (540) pode ser obtida por um erro de cálculo na escolha dos dígitos pares (se, por algum motivo, se obtivesse 9 em vez de 10 para $C(5,2)$), ou por uma misinterpretação do número de dígitos disponíveis. Por exemplo, $5 \times 9 \times 12 = 540$. No entanto, não há uma forma comum de obter 9 para $C(5,2)$.
(B) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que o número de senhas é 600. Primeiro, escolhemos o dígito ímpar (5 opções). Segundo, escolhemos o conjunto de dois dígitos pares distintos (C(5,2) = 10 opções). Terceiro, arranjamos esses quatro dígitos (dois iguais e dois diferentes) nas 4 posições da senha (4!/2! = 12 opções). Pelo princípio multiplicativo, $5 \times 10 \times 12 = 600$.
(C) Incorreta: Esta alternativa (720) seria obtida se houvesse 6 opções para o dígito ímpar (em vez de 5), ou se houvesse algum erro de cálculo nas outras etapas. Por exemplo, $6 \times 10 \times 12 = 720$.
(D) Incorreta: Esta alternativa (960) seria obtida se houvesse 8 opções para o dígito ímpar (em vez de 5), ou se houvesse algum erro de cálculo nas outras etapas. Por exemplo, $8 \times 10 \times 12 = 960$.
(E) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. O valor 1200 é obtido se, ao invés de escolher o conjunto de dois dígitos pares distintos $C(5,2)=10$, se escolhesse os dois dígitos pares em ordem $P(5,2) = 5 \times 4 = 20$. Se fizermos $5 \times 20 \times 12 = 1200$. A pegadinha é que "dois dígitos pares e diferentes entre si" se refere aos valores dos dígitos serem distintos (ex: {2,4}), e não à ordem em que eles são escolhidos para formar o conjunto de dígitos a serem arranjados. Usar $P(5,2)$ para a escolha dos dígitos pares e depois $\frac{4!}{2!}$ para o arranjo conta duplamente as combinações de pares (ex: escolher 2 e 4, e depois 4 e 2, leva ao mesmo conjunto de dígitos para arranjar, mas é contado como duas escolhas distintas).