Questão de Raciocínio Lógico · FGV CBMAM 2021 (nº 18)

Para encontrar o menor comprimento de uma mangueira que liga dois pontos em um ambiente com obstáculos (como paredes), o conceito-chave é que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. No entanto, se essa linha reta atravessar obstáculos, a mangueira deve contorná-los. Em plantas com ângulos retos, isso geralmente envolve "desdobrar" o caminho ou usar o Teorema de Pitágoras para calcular a diagonal de um retângulo imaginário que representa o deslocamento total.

Vamos analisar o caminho de A a B.
Podemos posicionar o ponto A na origem (0,0) de um sistema de coordenadas.

1. Calcular o deslocamento horizontal (Δx) de A a B:
   Observando o desenho, para ir de A até a linha vertical onde B está, a mangueira precisa percorrer as seguintes distâncias horizontais:

   • 10 m (primeiro segmento para a direita)
   • 8 m (segundo segmento para a direita, após subir 5m)
   • 5 m (terceiro segmento para a direita, após subir mais 10m)
   • 10 m (quarto segmento para a direita, após descer 5m, até o ponto B)
     Total horizontal (Δx) = 10 + 8 + 5 + 10 = 33 m.

2. Calcular o deslocamento vertical (Δy) de A a B:
   Observando o desenho, para ir de A até a linha horizontal onde B está, a mangueira precisa percorrer as seguintes distâncias verticais:

   • 5 m (primeiro segmento para cima)
   • 10 m (segundo segmento para cima, após ir 8m para a direita)
   • -5 m (segmento para baixo, após ir 5m para a direita) - Este trecho para baixo não contribui para o deslocamento vertical líquido de A para B. O ponto B está a 10m de altura em relação a A.
     Vamos traçar a altura de B em relação a A. A está na altura 0. O ponto B está na altura 10m (5m + 10m - 5m = 10m, se considerarmos o ponto mais alto e depois o recuo, ou simplesmente a altura do ponto B em relação ao chão onde A está).
     A altura final de B é 10m em relação ao nível de A.
     Total vertical (Δy) = 10 m.

A armadilha mais tentadora seria somar todos os segmentos do perímetro interno que levam de A a B (10+5+8+10+5+10 = 48m), o que daria um caminho muito longo, ou tentar calcular a distância em linha reta entre A(0,0) e B(33,10) sem considerar as paredes. No entanto, a mangueira pode atravessar as áreas abertas (quartos, corredores).

A maneira correta de pensar é que, como a mangueira pode se esticar em linha reta dentro dos cômodos, podemos "desdobrar" o caminho. Imagine que as paredes internas que criam os recuos podem ser "dobradas" para fora, criando um caminho reto.
O deslocamento horizontal total necessário é a soma das larguras dos cômodos ou segmentos horizontais: $10 + 8 + 5 + 10 = 33 m. O deslocamento vertical total necessário é a altura final do ponto B em relação a A. A partir de A (altura 0), o ponto B está a uma altura de \5 + (10 - 5) = 10$m. (Ou, mais simples, a coordenada Y de B é 10, e a de A é 0, então$\Delta y = 10$).

Portanto, temos um triângulo retângulo imaginário com catetos de 33 m (horizontal) e 10 m (vertical).
Aplicando o Teorema de Pitágoras ($d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$):
$d^2 = 33^2 + 10^2$
$d^2 = 1089 + 100$
$d^2 = 1189$
$d = \sqrt{1189}$

Calculando $\sqrt{1189}$:
$30^2 = 900$
$34^2 = 1156$
$35^2 = 1225$
$\sqrt{1189} \approx 34.48$ m.

Nenhuma das alternativas corresponde a 34.48 m. Isso indica que a interpretação do "desdobramento" ou do cálculo direto da diagonal está incorreta para este problema específico, ou que há uma pegadinha diferente.

A interpretação mais comum para "menor comprimento de uma mangueira" em plantas com ângulos retos, onde a mangueira não pode atravessar paredes, é que ela deve seguir um caminho ortogonal (apenas horizontal ou vertical) ou um caminho que "desdobra" o polígono.

Vamos reavaliar o "desdobramento" de forma diferente.
A mangueira pode ir de A até o ponto (10,0), depois subir até (10,5), depois ir para (18,5), depois subir até (18,15), depois ir para (23,15), depois descer até (23,10), e finalmente ir para B(33,10).
Este é o caminho "seguindo as paredes".
Comprimento = 10 + 5 + 8 + 10 + 5 + 10 = 48m. Isso é muito longo.

O problema é um clássico de "shortest path on a grid" ou "shortest path in a simple polygon".
A chave é que a mangueira pode atravessar os cômodos em linha reta.
Vamos considerar os pontos de inflexão (cantos internos) que a mangueira precisa contornar.

A é (0,0).
O primeiro "obstáculo" é a parede de 5m de altura em x=10. A mangueira pode ir de A(0,0) até (10,0) e depois subir até (10,5). Ou pode subir 5m até (0,5) e depois ir para (10,5).
O ponto (10,5) é um canto interno.
O ponto (18,5) é outro canto interno.
O ponto (18,15) é outro canto interno.
O ponto (23,15) é outro canto interno.
O ponto (23,10) é outro canto interno.
O ponto B é (33,10).

A distância mais curta entre dois pontos em um polígono ortogonal (com ângulos retos) é geralmente encontrada ao "desdobrar" o polígono de modo que os pontos fiquem em uma linha reta.
Vamos tentar desdobrar o polígono.
Ponto A = (0,0)
Ponto B = (33,10)

O caminho mais curto pode ser obtido movendo as paredes para "retificar" o caminho.
Imagine que a mangueira vai de A até o ponto (10,0), depois sobe para (10,5).
A partir de (10,5), ela pode ir em linha reta até (18,5).
A partir de (18,5), ela pode subir até (18,15).
A partir de (18,15), ela pode ir para (23,15).
A partir de (23,15), ela pode descer até (23,10).
A partir de (23,10), ela pode ir para (33,10).

Isso é o caminho ao longo das paredes, que é 48m.

A "pegadinha" ou o conceito é que a mangueira pode passar por dentro dos cômodos.
Vamos considerar o ponto A como (0,0).
O ponto B tem coordenadas X e Y.
X de B: A largura total da casa é 10m + 8m + 5m + 10m = 33m. Então, a coordenada X de B é 33.
Y de B: A altura de B em relação ao ponto A. A está no chão (y=0). B está na parede direita, a 10m do chão. Então, a coordenada Y de B é 10.
Então, A=(0,0) e B=(33,10).
A distância em linha reta seria $\sqrt{33^2 + 10^2} = \sqrt{1089 + 100} = \sqrt{1189} \approx 34.48$m.

Como esta não é uma opção, a interpretação deve ser que a mangueira não pode atravessar as paredes internas, mas pode atravessar o espaço aberto dos cômodos.

Vamos considerar um caminho diferente.
A mangueira pode ir de A(0,0) até o ponto (10,0).
A partir de (10,0), ela pode ir em linha reta até o ponto (10+8, 5) = (18,5).
A partir de (18,5), ela pode ir em linha reta até o ponto (18+5, 15) = (23,15).
A partir de (23,15), ela pode ir em linha reta até o ponto (23+10, 10) = (33,10).

Isso não faz sentido porque a linha reta de (10,0) a (18,5) atravessa a parede vertical de 5m.

A forma correta de resolver este tipo de problema, onde a mangueira não pode atravessar paredes, mas pode atravessar o espaço livre, é encontrar o caminho mais curto que "abra" o polígono.
Imagine que você pode "dobrar" as seções do polígono para que A e B fiquem em uma linha reta.

Vamos considerar a projeção dos pontos.
A = (0,0)
O primeiro canto interno é (10,5).
O segundo canto interno é (18,15).
O terceiro canto interno é (23,10).
B = (33,10).

A mangueira não pode ir direto de (0,0) para (33,10) porque a parede de 5m de altura em x=10 bloqueia.
Ela também não pode ir de (0,0) para (10,5) e depois direto para (33,10) porque a parede em x=18 bloqueia.

A ideia é que a mangueira pode ser esticada em linha reta dentro de cada "sala" ou "corredor".
Vamos tentar um caminho que "desdobre" o polígono.
A é (0,0).
Para chegar a B, precisamos de um deslocamento horizontal total e um deslocamento vertical total.
O deslocamento horizontal total é $10 + 8 + 5 + 10 = 33 m. O deslocamento vertical total é \5 + 10 - 5 = 10$ m (altura de B em relação a A).

A chave para esse tipo de problema é que a mangueira pode ser esticada em linha reta dentro do espaço livre, mas não pode atravessar as paredes.
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