Questão de Raciocínio Lógico · FGV CBMAM 2021 (nº 17)

Para resolver esta questão, precisamos entender os conceitos de média, moda e mediana.

• A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
• A moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados. Se houver um "única moda", significa que apenas um valor tem a maior frequência.
• A mediana é o valor do meio em um conjunto de dados quando eles estão ordenados. Se o número de dados for ímpar, a mediana é o valor central. Se for par, é a média dos dois valores centrais.

A lista de resultados é: $x, 3, 5, 5, y, 10, 12, 12, 15$.
Há 9 números na lista.

Passo 1: Usar a condição da média.
A média da lista é 8. A soma dos 9 números deve ser $9 \times 8 = 72$.
A soma dos números conhecidos é $3+5+5+10+12+12+15 = 62$. Portanto,$x + y + 62 = 72 \implies x + y = 10$. Esta é uma condição fundamental.

Passo 2: Usar as condições da moda e mediana.
O problema afirma que $y$ é a única moda e também é a mediana da lista.
A lista tem 9 elementos, então a mediana é o 5º elemento quando a lista é ordenada. Assim, o 5º elemento da lista ordenada é $y$.

Vamos analisar a condição da única moda:
Os números na lista (sem considerar $x$ e $y$ como valores específicos ainda) e suas frequências são:

• 3: 1 vez
• 5: 2 vezes
• 10: 1 vez
• 12: 2 vezes
• 15: 1 vez
• $x$: 1 vez (inicialmente)
• $y$: 1 vez (inicialmente)

Para $y$ ser a única moda, sua frequência final na lista deve ser estritamente maior que a frequência de qualquer outro número. Atualmente, 5 e 12 aparecem 2 vezes. Isso significa que $y$ deve aparecer pelo menos 3 vezes na lista final.
Como $y$ já está na lista uma vez, para que sua frequência seja 3, $y$ deve ser igual a 5 ou 12, e $x$ também deve ser igual a $y$. No entanto, o problema afirma $x \neq y$.

Vamos considerar as duas possibilidades para $y$ ser a única moda, sem que $x=y$:

• Possibilidade 1: $y=5$
  A lista se torna: $x, 3, 5, 5, 5, 10, 12, 12, 15$.
  A frequência de 5 é 3. A frequência de 12 é 2.
  Para que 5 seja a única moda, $x$ não pode ser 12 (pois senão 12 também teria frequência 3). E $x \neq y \implies x \neq 5$.
  Então, para $y=5$, precisamos que $x \neq 5$ e $x \neq 12$.
  Agora, vamos verificar a condição da mediana: $y=5$ é a mediana.
  A lista ordenada deve ter 5 como o 5º elemento. Os números (sem $x$) são $3, 5, 5, 5, 10, 12, 12, 15$. Para que o 5º elemento seja 5,$x$deve ser menor ou igual a 5. Como$x \neq 5$, então$x < 5$. Combinando:$y=5$e$x < 5$. Usando$x+y=10 \implies x+5=10 \implies x=5$. Isso contradiz$x < 5$. Portanto,$y=5$ é impossível.

• Possibilidade 2: $y=12$
  A lista se torna: $x, 3, 5, 5, 12, 10, 12, 12, 15$.
  A frequência de 12 é 3. A frequência de 5 é 2.
  Para que 12 seja a única moda, $x$ não pode ser 5 (pois senão 5 também teria frequência 3). E $x \neq y \implies x \neq 12$.
  Então, para $y=12$, precisamos que $x \neq 5$ e $x \neq 12$.
  Agora, vamos verificar a condição da mediana: $y=12$ é a mediana.
  A lista ordenada deve ter 12 como o 5º elemento. Os números (sem $x$) são $3, 5, 5, 10, 12, 12, 12, 15$. Para que o 5º elemento seja 12,$x$deve ser maior ou igual a 12. Como$x \neq 12$, então$x > 12$. Combinando:$y=12$e$x > 12$. Usando$x+y=10 \implies x+12=10 \implies x=-2$. Isso contradiz$x > 12$. Portanto,$y=12$ é impossível.

Conclusão sobre as condições:
As condições dadas no problema ("$y$ é a única moda, e também é a mediana da lista", $x \neq y$ e "A média da lista é 8") são contraditórias e não permitem encontrar valores de $x$ e $y$ que satisfaçam todas elas simultaneamente sob a interpretação padrão de média, moda e mediana.

No entanto, como o gabarito oficial indica uma resposta, vamos analisar a alternativa correta (E) e tentar inferir qual seria a intenção do problema, assumindo que alguma condição foi flexibilizada ou mal formulada.

A alternativa (E) é 12. Isso significa que a média dos três maiores números da lista é 12.
Se a média dos três maiores números é 12, a soma desses três números é $3 \times 12 = 36$.

A lista de números (fixos) é $3, 5, 5, 10, 12, 12, 15. Os três maiores números conhecidos são \12, 12, 15. A soma deles é \12+12+15 = 39. A média é \39/3 = 13. Para que a média dos três maiores seja 12, a soma deve ser 36. Isso significa que os três maiores números devem ser diferentes de \12, 12, 15$.

A única forma de a soma ser 36 é se um dos números $x$ ou $y$ for 9, e os outros números forem $12, 15$. Ou seja, a lista ordenada deve ter$n_7=9, n_8=12, n_9=15. Para que isso ocorra, um dos \12s originais ou o \10$original teria que ser substituído por um número menor que 9, e$x$ou$y$ teria que ser 9. Isso não é consistente com a lista dada.

A única maneira de chegar ao gabarito 12 é se a lista final, após determinar $x$ e $y$, tivesse os três maiores números como $9, 12, 15$. Isso implicaria que$x$ou$y$é 9, e os outros números se ajustam. Vamos supor que$y=9$. Então, de$x+y=10$, temos$x=1. A lista seria: \1, 3, 5, 5, 9, 10, 12, 12, 15$. Vamos verificar as condições com$x=1, y=9$:

1. $x \neq y$: $1 \neq 9$. (OK)
2. Média: $(1+3+5+5+9+10+12+12+15)/9 = 72/9 = 8$. (OK)
3. Mediana: A lista ordenada é $1, 3, 5, 5, \mathbf{9}, 10, 12, 12, 15$. A mediana é o 5º elemento, que é 9. Então $y=9$ é a mediana. (OK)
4. Única Moda: As frequências são: $1(1), 3(1), 5(2), 9(1), 10(1), 12(2), 15(1)$. Os valores 5 e 12 aparecem 2 vezes, sendo as maiores frequências. Portanto, a lista tem duas modas (5 e 12), e$y=9$ não é a única moda (nem é moda). Esta condição é violada.

Como a condição da "única moda" é violada, a solução $x=1, y=9$ não é válida.
Dada a impossibilidade de satisfazer todas as condições do problema simultaneamente, e a necessidade de seguir o gabarito oficial, a questão é considerada falha em sua formulação. No entanto, se for forçado a escolher uma alternativa, a única forma de chegar a 12 para a média dos três maiores números é se a lista fosse diferente, ou se alguma interpretação não padrão fosse aplicada.

Se, por exemplo, a lista original fosse $x, 3, 5, 5, y, 9, 12, 12, 15$ (um 10 foi trocado por um 9), e $x+y=10$.
E se $y=9$, então $x=1$.
A lista seria $1, 3, 5, 5, 9, 9, 12, 12, 15$. Sorted:$1, 3, 5, 5, \mathbf{9}, 9, 12, 12, 15$. Median is 9. So$y=9$is the median. Mode:$F_5=2, F_9=2, F_{12}=2$. Não é única moda.

A única maneira de obter 12 como média dos três maiores números é se esses números forem $9, 12, 15$. Para que isso aconteça na lista original$x, 3, 5, 5, y, 10, 12, 12, 15$, teríamos que ter$x$ou$y$ sendo 9, e o número 10 sendo menor que 9, o que é impossível.

Considerando que a questão está com falha em sua formulação, e a única forma de chegar à resposta E é se os três maiores números fossem $9, 12, 15$, o que não é possível com a lista e condições dadas, a explicação para o gabarito é forçosamente baseada em uma premissa incorreta ou uma flexibil