Questão de Raciocínio Lógico · FGV AGENERSA 2023 (nº 18)

Para ordenar números que incluem inteiros e suas raízes quadradas, lembre-se que, para números maiores que 1, a raiz quadrada de um número é sempre menor que o próprio número (ex: $\sqrt{4}=2 < 4$), e para 1, a raiz quadrada é igual ao número ($\sqrt{1}=1$).

• Contagem de termos: A sequência original tem 2023 inteiros (1 a 2023) e 2023 raízes ($\sqrt{1}$ a $\sqrt{2023}$), totalizando 4046 números. Ao ordenar, se um valor aparece mais de uma vez (como 1 e $\sqrt{1}$, ou 4 e $\sqrt{4}$), ele ocupa múltiplas posições.
• Posição de um inteiro $k$: Para um inteiro $k$, todos os números $\le k$ na sequência ordenada são:
  • As raízes $\sqrt{j}$ onde $j \le k^2$. São $k^2$ termos (de $\sqrt{1}$ a $\sqrt{k^2}$).
  • Os inteiros $i$ onde $i \le k$. São $k$ termos (de 1 a $k$).
  • Assim, o número total de termos $\le k$ é $k^2 + k$. O $(k^2 + k)$-ésimo termo da sequência ordenada é $k$.
• Encontrando o 2023º termo:
  • Precisamos encontrar $k$ tal que $k^2 + k$ esteja próximo de 2023.
  • Se $k=44$: $44^2 + 44 = 1936 + 44 = 1980$. Isso significa que o 1980º termo da sequência ordenada é 44. (Mais precisamente, o 1979º termo é $\sqrt{1936}=44$ e o 1980º termo é o inteiro 44).
  • Estamos procurando o 2023º termo. Ele está $2023 - 1980 = 43$ posições depois do 1980º termo.
  • Os termos após o 1980º (que é 44) são as raízes $\sqrt{j}$ onde $j > 44^2=1936$ e $j \le 2023$ (limite da sequência original), e depois os inteiros $i > 44$.
  • A sequência de termos após o 1980º é: $\sqrt{1937}, \sqrt{1938}, \sqrt{1939}, \dots$.
  • O 1981º termo é $\sqrt{1937}$ (que é $\sqrt{1936+1}$).
  • O 1982º termo é $\sqrt{1938}$ (que é $\sqrt{1936+2}$).
  • O 43º termo após o 1980º será $\sqrt{1936 + 43} = \sqrt{1979}$.
  • Verificamos que $\sqrt{1979} < 45$ (pois $1979 < 45^2 = 2025$), então $\sqrt{1979}$ realmente aparece antes do inteiro 45.
  • Portanto, o 2023º termo é $\sqrt{1979}$.

(A) Incorreta: O número 44 é o 1980º termo da sequência ordenada, não o 2023º.
(B) Incorreta: O número 45 seria o primeiro inteiro maior que 44. Ele apareceria depois de todas as raízes $\sqrt{j}$ onde $44 < \sqrt{j} < 45$. Como $44^2=1936$ e $45^2=2025$, as raízes $\sqrt{1937}, \dots, \sqrt{2023}$ (87 termos) viriam antes de 45. Assim, 45 seria o $1980 + 87 + 1 = 2068º$termo. **Armadilha da banca:** O erro comum seria considerar 45 como o próximo termo após 44, esquecendo as raízes intermediárias. **(C) Incorreta:**$\sqrt{1978} é o 42º termo após o 1980º termo, ou seja, o \1980 + 42 = 2022º$termo. **(D) Correta:** Conforme calculado,$\sqrt{1979} é o 43º termo após o 1980º termo, o que o torna o \1980 + 43 = 2023º$termo da sequência ordenada. **(E) Incorreta:**$\sqrt{1980} seria o 44º termo após o 1980º termo, ou seja, o \1980 + 44 = 2024º$ termo.