Questão de Raciocínio Lógico · FGV AGENERSA 2023 (nº 17)

O conceito-chave em problemas de conjuntos é entender como os grupos se sobrepõem (a interseção) e como se combinam (a união), e quantas pessoas podem estar fora desses grupos. A fórmula básica para dois conjuntos A e B é: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, onde $|X|$ representa o número de elementos no conjunto X. O número total de pessoas é o universo.

Dados do problema:

• Total de pessoas (Universo, U) = 70
• Engenheiros (E) = 48
• Moradores do Rio (R) = 36

Vamos analisar os limites da interseção ($E \cap R$):

1. A interseção não pode ser maior que o menor dos grupos: $|E \cap R| \le \min(48, 36) \Rightarrow |E \cap R| \le 36$.
2. A interseção mínima ocorre quando a união é máxima, ou seja, igual ao total de pessoas (70).
   • $|E \cup R| = |E| + |R| - |E \cap R|$
   • $70 \ge 48 + 36 - |E \cap R|$
   • $70 \ge 84 - |E \cap R|$
   • $|E \cap R| \ge 84 - 70 \Rightarrow |E \cap R| \ge 14$.
     Portanto, o número de engenheiros que moram no Rio está entre 14 e 36 (inclusive): $14 \le |E \cap R| \le 36$.

Agora, vamos analisar a união ($E \cup R$):

• União máxima: ocorre quando a interseção é mínima (14). $|E \cup R|_{max} = 48 + 36 - 14 = 70$.
• União mínima: ocorre quando a interseção é máxima (36). $|E \cup R|_{min} = 48 + 36 - 36 = 48$.
  Então, $48 \le |E \cup R| \le 70$.

Pessoas que não são engenheiros nem moram no Rio (fora da união):

• Número de pessoas fora da união = Total - $|E \cup R|$.
• Máximo de pessoas fora: $70 - |E \cup R|_{min} = 70 - 48 = 22$.
• Mínimo de pessoas fora: $70 - |E \cup R|_{max} = 70 - 70 = 0$.

(A) Incorreta: Se nenhum engenheiro fosse morador do Rio, a interseção seria 0. Mas calculamos que a interseção mínima é 14, ou seja, pelo menos 14 engenheiros moram no Rio. Armadilha da banca: Assumir que os grupos são disjuntos (não se misturam) sem verificar a consistência com o total.

(B) Incorreta: 36 engenheiros serem moradores do Rio é o valor máximo possível para a interseção, não um valor fixo. A interseção pode ser qualquer número entre 14 e 36.

(C) Incorreta: "Moradores do Rio que não são engenheiros" é $|R \setminus E| = |R| - |E \cap R|$. Para maximizar esse valor, precisamos minimizar $|E \cap R|$. A interseção mínima é 14. Então, $|R \setminus E|_{max} = 36 - 14 = 22$. A alternativa diz "no máximo, 20", o que é falso, pois pode ser 21 ou 22.

(D) Correta: "Pessoas que não são engenheiros nem moram na cidade do Rio de Janeiro" são as pessoas fora da união dos dois conjuntos. O número máximo de pessoas fora da união ocorre quando a união é mínima. A união mínima é 48 (quando a interseção é máxima, 36). Assim, o número máximo de pessoas fora é $70 - 48 = 22$.

(E) Incorreta: "Engenheiros moram no Rio" é a interseção $|E \cap R|$. Calculamos que a interseção mínima é 14. A alternativa diz "no mínimo, 20", o que é falso, pois a interseção pode ser 14, 15, 16, 17, 18 ou 19.