Questão de Raciocínio Lógico · FGV AGENERSA 2023 (nº 16)

Um produto cartesiano entre dois conjuntos, como A e B, é o conjunto de todos os pares ordenados $(x, y)$ possíveis, onde o primeiro elemento $x$ pertence a A e o segundo elemento $y$ pertence a B. A questão pede para encontrar o número de pares que satisfazem uma condição específica: o quadrado da primeira coordenada ($x^2$) deve ser menor do que a segunda coordenada ($y$).

Vamos analisar cada elemento de $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ e verificar quais elementos de $B = \{2, 4, 6, 8\}$ satisfazem a condição $x^2 < y$:

1. Para $x = 1$: $x^2 = 1^2 = 1$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $1 < y$?
   $y=2$ (pois $1 < 2$)$\rightarrow (1, 2)$$y=4 (pois \1 < 4$)$\rightarrow (1, 4)$$y=6 (pois \1 < 6$)$\rightarrow (1, 6)$$y=8 (pois \1 < 8$)$\rightarrow (1, 8)$
   Temos 4 pares.

2. Para $x = 2$: $x^2 = 2^2 = 4$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $4 < y$?
   $y=6$ (pois $4 < 6$)$\rightarrow (2, 6)$$y=8 (pois \4 < 8$)$\rightarrow (2, 8)$
   Temos 2 pares.

3. Para $x = 3$: $x^2 = 3^2 = 9$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $9 < y$?
   Nenhum elemento de $B$ é maior que 9.
   Temos 0 pares.

4. Para $x = 4$: $x^2 = 4^2 = 16$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $16 < y$?
   Nenhum elemento de $B$ é maior que 16.
   Temos 0 pares.

5. Para $x = 5$: $x^2 = 5^2 = 25$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $25 < y$?
   Nenhum elemento de $B$ é maior que 25.
   Temos 0 pares.

6. Para $x = 6$: $x^2 = 6^2 = 36$.
   Quais $y \in B$ satisfazem $36 < y$?
   Nenhum elemento de $B$ é maior que 36.
   Temos 0 pares.

Somando o número de pares encontrados: $4 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 = 6$.

• (A) Correta: O cálculo detalhado acima mostra que existem 6 pares ordenados que satisfazem a condição $x^2 < y$.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta da condição.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta da condição.
• (D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. Se o estudante esquecesse de elevar a primeira coordenada ao quadrado e aplicasse a condição $x < y$ apenas para os primeiros elementos de A, poderia chegar a este resultado (ex: para $x=1,2,3$, a condição $x<y$ geraria $4+3+3=10$pares). No entanto, a condição correta é$x^2 < y$.
• (E) Incorreta: O número total de elementos do produto cartesiano $A \times B$ (sem qualquer condição) seria $|A| \times |B| = 6 \times 4 = 24$. Este valor de 12 é um distrator que não corresponde nem ao total, nem ao resultado da condição.