Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV AGENERSA 2023 (nº 20)

Duas grandezas são inversamente proporcionais se, quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção, de forma que o produto entre elas (ou entre uma e o quadrado/cubo da outra, conforme o caso) é sempre constante. Se $A$ é inversamente proporcional a $B$, então $A \cdot B = k$ (onde $k$ é uma constante).

1. Estabelecer as relações:

   • "X é inversamente proporcional ao quadrado da grandeza Y": Isso significa que $X \cdot Y^2 = k_1$ (uma constante) ou $X = \frac{k_1}{Y^2}$.
   • "Y é inversamente proporcional à grandeza Z": Isso significa que $Y \cdot Z = k_2$ (uma constante) ou $Y = \frac{k_2}{Z}$.

2. Calcular as constantes $k_1$ e $k_2$ usando os valores iniciais:

   • Para $Y$ e $Z$: Quando $Y=4$ e $Z=\frac{1}{2}$, temos $4 = \frac{k_2}{1/2} \Rightarrow 4 = 2k_2 \Rightarrow k_2 = 2$.
     • Assim, a relação entre $Y$ e $Z$ é $Y = \frac{2}{Z}$.
   • Para $X$ e $Y$: Quando $X=2$ e $Y=4$, temos $2 = \frac{k_1}{4^2} \Rightarrow 2 = \frac{k_1}{16} \Rightarrow k_1 = 32$.
     • Assim, a relação entre $X$ e $Y$ é $X = \frac{32}{Y^2}$.

3. Expressar X em função de Z:

   • Substituímos a expressão de $Y$ (em função de $Z$) na expressão de $X$:
     • $X = \frac{32}{(\frac{2}{Z})^2}$
     • $X = \frac{32}{\frac{4}{Z^2}}$
     • $X = 32 \cdot \frac{Z^2}{4}$
     • X = 8Z^2\

4. Calcular X quando Z = 3:

   • Substituímos $Z=3$ na equação final:
     • $X = 8 \cdot (3)^2$
     • $X = 8 \cdot 9$
     • $X = 72$

• (A) Incorreta: O cálculo correto não resulta neste valor.
• (B) Incorreta: O cálculo correto não resulta neste valor.
• (C) Incorreta: Este valor seria obtido se a grandeza X fosse inversamente proporcional a Y (e não ao quadrado de Y), ou seja, se a relação fosse $X = k/Y$. Essa é uma armadilha comum, onde o candidato desconsidera o termo "quadrado".
• (D) Incorreta: O cálculo correto não resulta neste valor.
• (E) Correta: O valor de X é 72, conforme demonstrado pelos cálculos das relações de proporcionalidade.