Questão de Raciocínio Lógico · FCC TST 2017 (nº 22)

O conceito-chave aqui é a divisibilidade e o Teorema Chinês do Resto. Quando um número P é dividido por um divisor D, obtemos um quociente Q e um resto R, de modo que $P = D \times Q + R$. O resto R deve ser sempre menor que o divisor D ($R < D$).

Vamos analisar as informações dadas:

1. "O total de P pessoas será distribuído em grupos com o mesmo número de integrantes, e sempre com o número máximo possível de integrantes."
   Esta frase define a natureza dos grupos. O "número máximo possível de integrantes" (o tamanho do grupo, ou seja, o divisor) é uma condição importante.

2. "Se forem feitos 13 grupos, sobrarão 3 pessoas sem grupo."
   Isso significa que, se P pessoas forem divididas em grupos de tamanho $D_1$, o número de grupos (quociente) será 13 e o resto será 3.
   Então, $P = D_1 \times 13 + 3$.
   Pela regra do resto, o divisor $D_1$ deve ser maior que o resto 3 ($D_1 > 3$).

3. "Se forem feitos grupos com 36 pessoas, sobrarão 11 pessoas sem grupo."
   Isso significa que, se P pessoas forem divididas em grupos de tamanho 36, o resto será 11.
   Então, $P = 36 \times Q_2 + 11$.
   Pela regra do resto, o divisor 36 deve ser maior que o resto 11 ($36 > 11$, o que é verdade).

Traduzindo para congruências:
Da condição 2: $P = 13D_1 + 3 \implies P \equiv 3 \pmod{13}$ (P-3 é múltiplo de 13).
Da condição 3: $P = 36Q_2 + 11 \implies P \equiv 11 \pmod{36}$.

Agora, vamos resolver o sistema de congruências para encontrar P:
$P = 13k + 3$
$P = 36j + 11$

Igualando as expressões:
$13k + 3 = 36j + 11 \13k = 36j + 8$

Precisamos encontrar o menor valor inteiro positivo para k e j. Podemos testar valores para j ou usar o algoritmo estendido de Euclides para encontrar o inverso modular.
$13k \equiv 8 \pmod{36}$
O inverso modular de $13 \pmod{36}$ é $25$(pois$13 \times 25 = 325 = 9 \times 36 + 1$, então$13 \times 25 \equiv 1 \pmod{36}$). Multiplicando a congruência por 25:$25 \times 13k \equiv 25 \times 8 \pmod{36}$$k \equiv 200 \pmod{36}$$200 = 5 \times 36 + 20$, então$k \equiv 20 \pmod{36}$. Isso significa que$k = 36n + 20$para algum inteiro$n$.

Substituindo $k$ na primeira equação de P:
$P = 13(36n + 20) + 3$
$P = 468n + 260 + 3$
$P = 468n + 263$.

Esta é a forma geral de P. Os possíveis valores de P são:
Para $n=0$, $P = 263$.
Para $n=1$, $P = 468 + 263 = 731$.
Para $n=2$, $P = 468 \times 2 + 263 = 1199$.

Agora, vamos considerar a "pegadinha" da frase inicial: "sempre com o número máximo possível de integrantes".
Na condição 2, o tamanho do grupo é $D_1$. Na condição 3, o tamanho do grupo é 36.
A frase "número máximo possível de integrantes" implica que o tamanho do grupo $D_1$ (que não é explicitamente dado, mas é o divisor na primeira condição) deve ser o maior possível. Se há outro tamanho de grupo fixo (36 na segunda condição), então $D_1$ deve ser pelo menos tão grande quanto 36.
Portanto, temos uma condição adicional: $D_1 \ge 36$.
Lembrando que $D_1 = (P-3)/13$.
Então, $(P-3)/13 \ge 36$.
$P-3 \ge 13 \times 36$
$P-3 \ge 468$
$P \ge 471$.

Agora, procuramos o menor valor de P na sequência $P = 468n + 263$ que satisfaz $P \ge 471$:
Para $n=0$, $P=263$. Como $263 < 471$, este valor não satisfaz a condição$D_1 \ge 36$. Para$n=1$,$P=731$. Como$731 \ge 471$, este valor satisfaz a condição.
Este é o menor valor de P que atende a todas as condições.

(A) Incorreta: $588 \pmod{13} = 3$, mas $588 \pmod{36} = 12$, não 11.
(B) Incorreta: $443 \pmod{13} = 1$, não 3.
(C) Incorreta: $510 \pmod{13} = 3$, mas $510 \pmod{36} = 6$, não 11.
(D) Correta: $731 \pmod{13} = 3$ ($731 = 13 \times 56 + 3$) e $731 \pmod{36} = 11$ ($731 = 36 \times 20 + 11$). Além disso, para $P=731$, o tamanho do grupo na primeira condição seria $D_1 = (731-3)/13 = 728/13 = 56$. Como $56 \ge 36$, a condição "número máximo possível de integrantes" (interpretada como $D_1 \ge 36$) é satisfeita. Este é o menor valor de P que cumpre todas as exigências.
(E) Incorreta: $263 \pmod{13} = 3$ e $263 \pmod{36} = 11$. Embora satisfaça as congruências, para $P=263$, o tamanho do grupo na primeira condição seria $D_1 = (263-3)/13 = 260/13 = 20$. Este valor de $D_1=20$ não satisfaz a condição implícita de que o "número máximo possível de integrantes" ($D_1$) deve ser maior ou igual ao outro tamanho de grupo dado (36), ou seja, $20 \not\ge 36$. Esta é a armadilha da banca: muitos alunos encontrariam 263 como a menor solução das congruências e parariam por aí, ignorando a sutileza da frase inicial.