Questão de Engenharia Mecânica · FCC TRT23 2022 (nº 30)

A frequência natural não amortecida é a taxa em que um sistema oscila livremente quando perturbado de sua posição de equilíbrio, sem a influência de amortecimento ou forças externas. Para sistemas rotacionais com um grau de liberdade, ela é determinada pela raiz quadrada da razão entre a rigidez torsional equivalente (a capacidade do sistema de gerar um torque restaurador) e o momento de inércia (a resistência do sistema à mudança de movimento rotacional).

(A) Incorreta: Esta alternativa representa a frequência natural de um sistema massa-mola translacional simples ($\sqrt{k/m}$), não considerando a geometria rotacional do sistema (distância $d$) nem o momento de inércia $J_O$ da barra em forma de "T". A armadilha aqui é aplicar a fórmula mais básica de vibração translacional a um sistema rotacional, ignorando as particularidades do movimento de rotação.
(B) Incorreta: Embora inclua a dimensão $d$, ainda utiliza a massa $m$ em vez do momento de inércia $J_O$, que é o parâmetro correto para inércia em movimento rotacional.
(C) Incorreta: Apresenta um fator $1/\pi$ em vez de $1/(2\pi)$ para converter de frequência angular para frequência em Hertz, e ainda usa a massa $m$ incorretamente.
(D) Incorreta: Esta é a frequência angular natural ($\omega_n$) de um sistema massa-mola translacional simples, não a frequência em Hertz, e usa a massa $m$ incorretamente.
(E) Correta: A frequência natural não amortecida em Hertz ($f_n$) é dada por $f_n = \dfrac{\omega_n}{2\pi}$. Para um sistema rotacional, a frequência angular natural é $\omega_n = \sqrt{\dfrac{K_{eq}}{J_O}}$, onde $K_{eq}$ é a rigidez torsional equivalente. A mola, ao ser deslocada por um pequeno ângulo $\theta$, causa um deslocamento horizontal em A de $x_A = d \sin\theta \approx d\theta$. A força da mola é $F_k = k x_A = k d\theta$. O torque restaurador gerado por essa força em relação a O é $M_k = F_k \times d = (kd\theta)d = kd^2\theta$. Assim, a rigidez torsional equivalente é $K_{eq} = kd^2$. Substituindo na fórmula, temos $\omega_n = \sqrt{\dfrac{kd^2}{J_O}} = d\sqrt{\dfrac{k}{J_O}}$. Convertendo para Hertz, $f_n = \dfrac{d}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{J_O}}$.