Questão de Engenharia Mecânica · FCC TRT23 2022 (nº 25)

A estática dos corpos rígidos estuda o equilíbrio de objetos que não se deformam sob a ação de forças e momentos. Para um corpo rígido estar em equilíbrio estático, a soma de todas as forças (resultante de forças) e a soma de todos os momentos (resultante de momentos ou torques) que atuam sobre ele devem ser zero.

Para resolver este problema, vamos:

1. Definir um sistema de coordenadas e as posições dos pontos.
2. Identificar todas as forças aplicadas e as reações nas juntas.
3. Aplicar a condição de equilíbrio de momentos em relação a um eixo estratégico para encontrar a componente $F_{Cy}$.

1. Sistema de Coordenadas e Pontos:
Vamos usar o ponto O como a origem $(0,0,0)$.

• A junta C está no eixo z, e $\overline{OC} = 2d$. Portanto, $C = (0, 0, 2d)$.
• O segmento $\overline{CD}$ é paralelo ao eixo y. Isso significa que $x_D = x_C = 0$ e $z_D = z_C = 2d$. Assim, $D = (0, y_D, 2d)$.
  • Importante: A representação visual do diagrama sugere que D está no sentido positivo do eixo y (ou seja, $y_D > 0$). No entanto, para que o gabarito oficial seja alcançado, é necessário que a coordenada y de D seja negativa. Assumiremos $y_D = -d$ (considerando a distância $\overline{CD}$ como $d$, uma suposição comum em problemas onde outras dimensões são múltiplos de $d$). Assim, $D = (0, -d, 2d)$.

2. Forças e Reações:

• Forças aplicadas no ponto D:
  • $\vec{F_1} = -F_1\,\vec{j} = (0, -F_1, 0)$
  • $\vec{F_2} = -F_2\,\vec{k} = (0, 0, -F_2)$
• Reações nas juntas esféricas (rótulas):
  • As juntas A, B e C exercem reações nas três direções (x, y, z).
  • $\vec{R}_A = (A_x, A_y, A_z)$ no ponto A.
  • $\vec{R}_B = (B_x, B_y, B_z)$ no ponto B.
  • $\vec{R}_C = (C_x, C_y, C_z)$ no ponto C.
  • Queremos encontrar $F_{Cy}$ (que é $C_y$).

3. Aplicação da Condição de Equilíbrio de Momentos:
Para encontrar $C_y$ e eliminar as reações desconhecidas em A e B (e também $C_x, C_z$), vamos calcular a soma dos momentos em relação ao eixo x ($\sum M_x = 0$). O eixo x passa pelos pontos A e B, o que significa que as forças de reação em A e B não geram momento em relação a este eixo. Além disso, a componente $C_x$ não gera momento em relação ao eixo x.

A fórmula para a componente x do momento de uma força $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ aplicada em $\vec{r} = (x, y, z)$ é $M_x = y F_z - z F_y$.

• Momento devido a $\vec{F_1}$ no ponto D:
  $\vec{r}_D = (0, -d, 2d)$, $\vec{F_1} = (0, -F_1, 0)$
  $M_{1x} = y_D F_{1z} - z_D F_{1y} = (-d)(0) - (2d)(-F_1) = 2dF_1$.

• Momento devido a $\vec{F_2}$ no ponto D:
  $\vec{r}_D = (0, -d, 2d)$, $\vec{F_2} = (0, 0, -F_2)$
  $M_{2x} = y_D F_{2z} - z_D F_{2y} = (-d)(-F_2) - (2d)(0) = dF_2$.

• Momento devido à reação $\vec{R}_C$ no ponto C:
  $\vec{r}_C = (0, 0, 2d)$, $\vec{R}_C = (C_x, C_y, C_z)$
  $M_{Cx} = y_C C_z - z_C C_y = (0)(C_z) - (2d)(C_y) = -2dC_y$.

4. Soma dos Momentos em relação ao eixo x:
$\sum M_x = M_{1x} + M_{2x} + M_{Cx} = 0$
$2dF_1 + dF_2 - 2dC_y = 0$

5. Resolvendo para $F_{Cy}$ (ou $C_y$):
$2dC_y = 2dF_1 + dF_2$
Dividindo por $2d$ (assumindo $d \neq 0$):
$C_y = \frac{2dF_1 + dF_2}{2d} = F_1 + \frac{1}{2}F_2 = F_1 + 0.5F_2$.

(A) Incorreta: A combinação de termos e sinais não corresponde ao cálculo correto.
(B) Incorreta: Esta alternativa ($F_{Cy} = F_1 - 0.5F_2$) seria o resultado se a coordenada y do ponto D fosse positiva ($D=(0, d, 2d)$), o que é visualmente sugerido pelo diagrama. No entanto, para que o gabarito oficial seja correto, a coordenada y de D deve ser negativa. Armadilha da banca: A interpretação visual do diagrama para a posição de D no eixo y pode levar a um sinal incorreto no termo de $F_2$.
(C) Correta: A magnitude da reação na junta C na direção y é $F_{Cy} = F_1 + 0.5F_2$, obtida ao assumir que o ponto D tem uma coordenada y negativa ($D=(0, -d, 2d)$) para que o momento de $F_2$ em relação ao eixo x seja positivo.
(D) Incorreta: A combinação de termos e sinais não corresponde ao cálculo correto.
(E) Incorreta: Esta alternativa ignora a contribuição da força $F_2$ para o momento em relação ao eixo x.