Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FCC TRT22 2022 (nº 18)

Para resolver problemas com equações com duas incógnitas, primeiro transformamos as informações do texto em um sistema de equações. Cada frase que descreve uma relação entre os números se torna uma equação matemática. Em seguida, resolvemos esse sistema, geralmente por substituição (trocando uma variável por sua expressão em termos da outra) ou adição, para encontrar os valores das incógnitas e, por fim, verificamos se as soluções satisfazem todas as condições do problema.

• A) Incorreta: Se o maior número fosse $\frac{1}{2}$, o outro seria $\frac{1}{4}$ (pois um é o dobro do outro). A soma seria $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. O dobro do produto seria $2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Como $\frac{3}{4} \neq \frac{1}{4}$, essa alternativa não satisfaz a condição da soma e do produto.
• B) Incorreta: Este valor ($\frac{1}{4}$) não é o maior número da solução correta. Além disso, se fosse o maior número, o outro seria $\frac{1}{8}$, e essa combinação não satisfaz as condições do problema. Armadilha da banca: Esta alternativa pode ser tentadora para quem cometeu algum erro de cálculo ou se confundiu com o menor número da solução correta ($\frac{3}{4}$), que tem um denominador parecido.
• (C) Correta: Vamos chamar os dois números de $x$ e $y$.
  1. "a soma desses dois números é igual ao dobro do produto desses dois números": $x + y = 2xy$ (Equação 1)
  2. "um dos números é o dobro do outro": Podemos dizer $y = 2x$ (Equação 2).
     Agora, substituímos a Equação 2 na Equação 1:
     $x + (2x) = 2x(2x)$
     $3x = 4x^2$
     Para resolver para $x$, reorganizamos a equação:
     $4x^2 - 3x = 0$
     Fatoramos $x$:
     $x(4x - 3) = 0$
     Isso nos dá duas possíveis soluções para $x$:
     a) $x = 0$
     b) $4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$
     O problema diz "dois números distintos". Se $x=0$, então $y=2(0)=0$, o que resultaria em dois números iguais (0 e 0), o que contradiz a condição de serem distintos. Portanto, $x=0$ é descartado.
     A solução válida é $x = \frac{3}{4}$.
     Agora, encontramos $y$ usando $y=2x$:
     $y = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
     Os dois números são $\frac{3}{4}$ e $\frac{3}{2}$. Para saber qual é o maior, podemos comparar: $\frac{3}{4} = 0,75$ e $\frac{3}{2} = 1,5$.
     O maior número é $\frac{3}{2}$.
• D) Incorreta: Se o maior número fosse $\frac{5}{2}$, o outro seria $\frac{5}{4}$. A soma seria $\frac{5}{2} + \frac{5}{4} = \frac{10}{4} + \frac{5}{4} = \frac{15}{4}$. O dobro do produto seria $2 \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{4}$. Como $\frac{15}{4} \neq \frac{25}{4}$, essa alternativa não satisfaz as condições.
• E) Incorreta: $\frac{2}{4}$ é equivalente a $\frac{1}{2}$. Esta alternativa é a mesma que a alternativa A e, portanto, está incorreta pelos mesmos motivos.