Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT18 2022 (nº 22)

A soma de números é par ou ímpar dependendo da quantidade de números ímpares que a compõem: se a quantidade de números ímpares for par, a soma é par; se for ímpar, a soma é ímpar. Um múltiplo de um número é o resultado da multiplicação desse número por um inteiro.

Seja $x$ o número de cartões com o número 3 e $y$ o número de cartões com o número 4.
Temos 35 cartões no total, então $x + y = 35$.
A soma total $S$ é $S = 3x + 4y$.
Podemos substituir $y = 35 - x$ na equação da soma:
$S = 3x + 4(35 - x)$
$S = 3x + 140 - 4x$
$S = 140 - x$

Sabemos que $x$ é o número de cartões com o número 3, então $0 \le x \le 35$.
Isso nos dá um intervalo para a soma $S$:
Se $x=0$, $S = 140 - 0 = 140$.
Se $x=35$, $S = 140 - 35 = 105$.
Portanto, a soma $S$ deve estar no intervalo $[105, 140]$.

Além disso, a questão diz que a soma $S$ é par.
Como $S = 140 - x$ e 140 é um número par, para que $S$ seja par, $x$ (o número de cartões com 3) também deve ser um número par.
Então, $x \in \{0, 2, 4, ..., 34\}$.
Com $x$ sendo par, o menor valor possível para $S$ é quando $x$ é o maior par possível, $x=34$: $S = 140 - 34 = 106$.
O maior valor possível para $S$ é quando $x$ é o menor par possível, $x=0$: $S = 140 - 0 = 140$.
Assim, a soma $S$ deve ser um número par no intervalo $[106, 140]$.

Por fim, a soma $S$ é um múltiplo de 17.
Vamos listar os múltiplos de 17 que estão no intervalo $[106, 140]$ e são pares:
$17 \times 6 = 102$ (fora do intervalo, pois $102 < 106$)$17 \times 7 = 119$(no intervalo, mas é ímpar)$17 \times 8 = 136$(no intervalo e é par)$17 \times 9 = 153 (fora do intervalo, pois \153 > 140$)

O único valor que satisfaz todas as condições é 136.

(A) Incorreta: 102 é múltiplo de 17 e é par, mas não é uma soma possível. Se $S=102$, então $102 = 140 - x \implies x = 38$. Como só há 35 cartões, $x$ não pode ser 38. A armadilha da banca é apresentar um número que atende a duas das três condições (múltiplo de 17 e par), mas falha na terceira (ser uma soma possível dentro do número de cartões).
(B) Correta: 136 é múltiplo de 17 ($17 \times 8 = 136$), é um número par, e se $S=136$, então $136 = 140 - x \implies x = 4$. Como $x=4$ é um número par de cartões (entre 0 e 35), essa soma é válida e atende a todas as condições.
(C) Incorreta: 170 é múltiplo de 17 e é par, mas não é uma soma possível. Se $S=170$, então $170 = 140 - x \implies x = -30$. O número de cartões não pode ser negativo.
(D) Incorreta: 204 é múltiplo de 17 e é par, mas não é uma soma possível. Se $S=204$, então $204 = 140 - x \implies x = -64$. O número de cartões não pode ser negativo.
(E) Incorreta: 68 é múltiplo de 17 e é par, mas não é uma soma possível. Se $S=68$, então $68 = 140 - x \implies x = 72$. O número de cartões não pode ser 72, pois há apenas 35 cartões.