Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRT15 2023 (nº 10)

Este problema trata de derangements (desarranjos), que são permutações onde nenhum elemento permanece em sua posição original. Imagine cada amigo como uma "posição" e seu livro como o "elemento".

A primeira condição, "nenhum deles fique com seu próprio livro", significa que a troca de livros deve ser um desarranjo. Ou seja, Alberto não pode ficar com o livro de Alberto, Bruno não pode ficar com o livro de Bruno, e Carlos não pode ficar com o livro de Carlos.

Para 3 elementos (os 3 amigos e seus 3 livros), o número de desarranjos ($D_3$) pode ser calculado pela fórmula $D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$.
Para $n=3$: $D_3 = 3! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) = 6 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{2}{6} \right) = 2$.

Vamos listar essas 2 maneiras:

1. Alberto recebe o livro de Bruno, Bruno recebe o livro de Carlos, e Carlos recebe o livro de Alberto. (Representado como um ciclo: A→B→C→A)
2. Alberto recebe o livro de Carlos, Bruno recebe o livro de Alberto, e Carlos recebe o livro de Bruno. (Representado como um ciclo: A→C→B→A)

Agora, a segunda condição: "e nem repasse o livro recebido". Esta é a "pegadinha". Em uma única rodada de troca, cada amigo entrega o seu próprio livro e recebe um livro diferente. Eles não "repassam" (dão a outra pessoa) o livro que acabaram de receber, pois a troca é um evento simultâneo de dar e receber. Portanto, em qualquer uma das 2 maneiras listadas acima, essa condição é automaticamente satisfeita, pois ninguém está "repassando" o livro que recebeu. A condição visa evitar cenários mais complexos ou múltiplas rodadas de troca, mas para um desarranjo de 3 elementos em uma única troca, ela não restringe as opções.

(A) Incorreta: Há mais de uma maneira de fazer a troca sem que ninguém fique com seu próprio livro.
(B) Incorreta: O cálculo de desarranjos para 3 elementos resulta em 2, não 5.
(C) Incorreta: O cálculo de desarranjos para 3 elementos resulta em 2, não 4.
(D) Correta: Existem 2 maneiras de os 3 amigos trocarem os livros de modo que ninguém fique com o seu próprio livro (desarranjos de 3 elementos). A segunda condição ("nem repasse o livro recebido") é satisfeita automaticamente em uma única rodada de troca para qualquer um desses desarranjos.
(E) Incorreta: O cálculo de desarranjos para 3 elementos resulta em 2, não 3.