Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRT-14 2018 (nº 11)

O conceito-chave aqui é a contagem de caminhos em uma estrutura de grade, que pode ser resolvida usando o Triângulo de Pascal ou coeficientes binomiais. Cada vez que a bolinha encontra uma junção (um pino), ela tem duas opções: ir para a esquerda ou para a direita. O número de caminhos para cada ponto é a soma dos caminhos que chegam aos pontos imediatamente acima dele.

Neste brinquedo, a bolinha percorre 7 níveis (ou faz 7 "decisões" de esquerda/direita) desde a entrada até as caçapas inferiores. Para chegar a uma caçapa específica, ela precisa fazer um certo número de movimentos para a direita e para a esquerda. Se contarmos as caçapas da esquerda para a direita, começando em 1, a $k$-ésima caçapa é alcançada com $k-1$ movimentos para a direita e $7-(k-1)$ movimentos para a esquerda.

Para a 3ª caçapa:

• Número total de movimentos (níveis) = 7.
• Número de movimentos para a direita = $3 - 1 = 2$.
• Número de movimentos para a esquerda = $7 - 2 = 5$. O número de caminhos é dado pela combinação de 7 movimentos, escolhendo 2 deles para serem para a direita (ou 5 para serem para a esquerda):$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(A) Correta: O cálculo usando coeficientes binomiais $\binom{7}{2}$ (7 níveis de decisão, 2 movimentos para a direita para a 3ª caçapa) resulta em 21 caminhos. O Triângulo de Pascal também confirma que o terceiro valor na linha das caçapas (contando a partir da primeira caçapa como primeiro valor) é 21.
(B) Incorreta: 6 não corresponde a nenhum cálculo lógico para a 3ª caçapa neste arranjo.
(C) Incorreta: 35 seria o número de caminhos para a 4ª caçapa (calculado como $\binom{7}{3}$). A armadilha da banca aqui é que, se o aluno confundir a "3ª caçapa" com o índice $k=3$ na fórmula $\binom{n}{k}$ (onde $k$ representa o número de movimentos para a direita, começando do 0 para a primeira caçapa), ele chegaria a 35. No entanto, a 3ª caçapa (contando a partir de 1) corresponde a $k=2$ movimentos para a direita.
(D) Incorreta: 10 seria o resultado de $\binom{5}{2}$ ou $\binom{5}{3}$, o que implicaria apenas 5 níveis de decisão, e não 7.
(E) Incorreta: 15 seria o resultado de $\binom{6}{2}$ ou $\binom{6}{4}$, o que implicaria 6 níveis de decisão, e não 7.