Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT-12 2023 (nº 15)

Criptoaritmética é um quebra-cabeça matemático onde letras representam algarismos únicos (de 0 a 9), e o objetivo é encontrar o valor de cada letra para que a operação aritmética esteja correta. Letras diferentes devem representar algarismos diferentes.

Vamos analisar a conta armada:
X Y W

• K M

1 0 0

Esta é uma adição, que pode ser decomposta por colunas, da direita para a esquerda (unidades, dezenas, centenas):

1. Coluna das Unidades (W + M):
   W + M deve resultar em um número que termine em 0. Como W e M são algarismos diferentes (0-9), a soma máxima é 9+8=17.
   Portanto, W + M = 10.
   Isso gera um vai-um (carry-over) de 1 para a coluna das dezenas.

2. Coluna das Dezenas (Y + K + vai-um):
   Y + K + 1 (do vai-um da unidade) deve resultar em um número que termine em 0. Como Y e K são algarismos diferentes (0-9), a soma máxima de Y+K+1 é 9+8+1=18.
   Portanto, Y + K + 1 = 10.
   Isso implica que Y + K = 9.
   Isso gera um vai-um (carry-over) de 1 para a coluna das centenas.

3. Coluna das Centenas (X + vai-um):
   X + 1 (do vai-um da dezena) deve resultar em 1 (o '1' do número 100).
   Portanto, X + 1 = 1.
   Isso implica que X = 0.

Agora, temos os valores parciais:

• X = 0
• Y + K = 9
• W + M = 10

As letras X, Y, W, M, K devem representar algarismos diferentes.
Como X = 0, os algarismos Y, W, M, K não podem ser 0.
Além disso, K é o algarismo da dezena do número KM, o que significa que K não pode ser 0 (algarismos iniciais de números com mais de um dígito não podem ser zero). Y é o algarismo da dezena do número XYW (que se torna YW se X=0), então Y também não pode ser 0. W e M também não podem ser 0, pois devem ser diferentes de X.

Vamos encontrar valores para Y, K, W, M que satisfaçam as condições:

• Y, K, W, M devem ser algarismos distintos e não-nulos (de 1 a 9).
• Y + K = 9
• W + M = 10

Existem várias combinações possíveis. Por exemplo:

• Se Y=2 e K=7 (Y+K=9).
• Os algarismos usados até agora são {0, 2, 7}.
• Para W+M=10, precisamos de dois algarismos distintos dos restantes {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9}.
• Podemos escolher W=4 e M=6 (W+M=10).
• Os algarismos {0, 2, 7, 4, 6} são todos distintos.
• Verificando a adição: 024 + 76 = 24 + 76 = 100. A conta está correta.

Com esses valores (X=0, Y=2, W=4, M=6, K=7), o valor de X + Y + W + M + K é:
0 + 2 + 4 + 6 + 7 = 19.

No entanto, o gabarito oficial indica a letra E) 12. A derivação matemática padrão para este problema leva consistentemente ao resultado 19. Isso sugere que pode haver uma falha no problema ou no gabarito fornecido, pois não é possível obter 12 seguindo as regras da criptoaritmética e a estrutura da adição apresentada.

Comentário sobre o distrator mais tentador:
A armadilha mais comum em criptoaritmética é a regra de que "algarismos iniciais não podem ser zero". Se aplicarmos essa regra estritamente a X (como algarismo inicial de XYW), teríamos X ≠ 0. No entanto, se X ≠ 0, então X deve ser 1 (pois X + vai-um = 1 e o vai-um só pode ser 0 ou 1). Se X=1, o vai-um da coluna das dezenas seria 0. Mas, para a coluna das dezenas, Y + K + 1 (vai-um das unidades) deveria ser 0 (para não gerar vai-um para as centenas), o que é impossível para algarismos não-negativos. Assim, a suposição de X ≠ 0 leva a uma contradição, forçando X a ser 0.

Considerando o gabarito oficial (E) 12, mesmo com a contradição:
Se o valor de X + Y + W + M + K deve ser 12, e sabendo que X=0, Y+K=9 e W+M=10, a soma total seria 0 + 9 + 10 = 19. Não há uma maneira matematicamente consistente de obter 12 a partir da conta armada e das regras de criptoaritmética. A única forma de chegar a 12 seria se as somas parciais (Y+K e W+M) fossem menores, o que contradiz a estrutura da adição para formar o número 100.

• (A) Incorreta: O valor calculado é 19, não 9.
• (B) Incorreta: O valor calculado é 19, não 8.
• (C) Incorreta: O valor calculado é 19, não 10.
• (D) Incorreta: O valor calculado é 19, não 15.
• (E) Correta: Embora a derivação matemática padrão leve a 19, o gabarito oficial é 12. Isso indica uma provável falha na questão ou no gabarito, pois não é possível obter 12 seguindo as regras da criptoaritmética. A explicação detalhada acima demonstra que X=0, Y+K=9 e W+M=10, resultando em X+Y+W+M+K = 19.