Questão de Raciocínio Crítico, Lógico e Estatística · FCC SEFAZ-SC 2018 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 38)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um parâmetro populacional (como a média), fornecendo um range de valores onde esse parâmetro provavelmente se encontra, com um certo nível de confiança. A amplitude desse intervalo indica a precisão da estimativa: quanto menor a amplitude, mais precisa a estimativa. A fórmula da amplitude de um intervalo de confiança para a média, com desvio padrão populacional conhecido, é $A = 2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão, $\sigma$ é o desvio padrão e $n$ é o tamanho da amostra.

Cálculo da amplitude inicial ($A_n$) e do tamanho da amostra $n$:

1. A amplitude do primeiro intervalo é $A_n = 130,98 - 129,02 = 1,96$ cm.
2. Para um coeficiente de confiança de 95%, $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \alpha/2 = 0,025$.
   O valor crítico $Z_{\alpha/2}$ é tal que $P(Z < Z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,025 = 0,975$.
   Pelos dados fornecidos, $P(Z < 1,96) = 0,975$, então $Z_{\alpha/2} = 1,96$.
3. O desvio padrão populacional é $\sigma = 4$ cm.
4. Usando a fórmula da amplitude: $A_n = 2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
   $1,96 = 2 \times 1,96 \frac{4}{\sqrt{n}}$
   Dividindo ambos os lados por 1,96:
   $1 = 2 \frac{4}{\sqrt{n}}$
   $1 = \frac{8}{\sqrt{n}}$
   $\sqrt{n} = 8 \implies n = 8^2 = 64$.

Cálculo do novo tamanho da amostra ($m$):

1. Deseja-se que a amplitude do novo intervalo ($A_m$) seja a metade da amplitude original ($A_n$).
   $A_m = A_n / 2 = 1,96 / 2 = 0,98$ cm.
2. Usando a mesma fórmula para a nova amostra de tamanho $m$:
   $A_m = 2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{m}}$
   $0,98 = 2 \times 1,96 \frac{4}{\sqrt{m}}$
   $0,98 = 3,92 \frac{4}{\sqrt{m}}$
   $0,98 = \frac{15,68}{\sqrt{m}}$
   $\sqrt{m} = \frac{15,68}{0,98} = 16$
   $m = 16^2 = 256$.

Relação direta entre amplitudes e tamanhos de amostra:
A amplitude é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra ($A \propto 1/\sqrt{n}$).
Se a nova amplitude ($A_m$) é metade da antiga ($A_n$), então:
$A_m = A_n / 2$
$2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{m}} = \frac{1}{2} \left( 2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
$\frac{1}{\sqrt{m}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$
$\sqrt{m} = 2\sqrt{n}$
Elevando ao quadrado ambos os lados:
$m = (2\sqrt{n})^2 = 4n$.
Como $n=64$, então $m = 4 \times 64 = 256$.

(A) Incorreta: 64 é o tamanho da amostra original ($n$), não o novo tamanho ($m$) necessário para reduzir a amplitude pela metade.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos.
(E) Correta: Para que a amplitude de um intervalo de confiança seja reduzida pela metade, o tamanho da amostra deve ser multiplicado por quatro. Isso ocorre porque a amplitude é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra. Se $A_m = A_n/2$, então $\sqrt{m} = 2\sqrt{n}$, o que implica $m = (2\sqrt{n})^2 = 4n$. Como $n=64$, $m = 4 \times 64 = 256$.