Questão de Raciocínio Crítico, Lógico e Estatística · FCC SEFAZ-SC 2018 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 39)

O teste de hipóteses é um método estatístico para decidir se uma afirmação sobre um parâmetro populacional (a hipótese nula, $H_0$) deve ser rejeitada em favor de uma afirmação alternativa (a hipótese alternativa, $H_1$), com base em dados de uma amostra. O erro do tipo I ($\alpha$) é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira, enquanto o erro do tipo II ($\beta$) é a probabilidade de não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa (ou seja, $H_1$ é verdadeira).

Para resolver a questão, precisamos encontrar o valor crítico $c$ da frequência relativa de sucessos ($\hat{p}$) que iguala $\alpha$ e $\beta$. O teste é unilateral à esquerda, pois $H_1: p=0.50$ é menor que $H_0: p=0.64$. A região de rejeição será $\hat{p} \le c$.

1. Calcular os desvios padrão para $\hat{p}$ sob $H_0$ e $H_1$:

   • Sob $H_0 (p_0 = 0.64)$: $\sigma_0 = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.64(1-0.64)}{100}} = \sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{100}} = \frac{0.8 \times 0.6}{10} = 0.048$.
   • Sob $H_1 (p_1 = 0.50)$: $\sigma_1 = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n}} = \sqrt{\frac{0.50(1-0.50)}{100}} = \sqrt{\frac{0.50 \times 0.50}{100}} = \frac{0.5 \times 0.5}{10} = 0.05$.

2. Expressar $\alpha$ e $\beta$ em termos de $c$ e Z-scores:

   • $\alpha = P(\hat{p} \le c | H_0) = P(Z \le \frac{c - p_0}{\sigma_0}) = P(Z \le \frac{c - 0.64}{0.048})$.
   • $\beta = P(\hat{p} > c | H_1) = P(Z > \frac{c - p_1}{\sigma_1}) = P(Z > \frac{c - 0.50}{0.05})$.

3. Igualar $\alpha$ e $\beta$:
   Para que $P(Z \le Z_{\alpha}) = P(Z > Z_{\beta})$, os valores $Z_{\alpha}$ e $Z_{\beta}$ devem ser opostos, ou seja, $Z_{\alpha} = -Z_{\beta}$.
   $\frac{c - 0.64}{0.048} = - \left( \frac{c - 0.50}{0.05} \right)$
   \frac{c - 0.64}{0.048} = \frac{0.50 - c}{0.05}\

4. Resolver para $c$:
   $0.05(c - 0.64) = 0.048(0.50 - c) \0.05c - 0.032 = 0.024 - 0.048c$
   $0.05c + 0.048c = 0.024 + 0.032 \0.098c = 0.056$$c = \frac{0.056}{0.098} = \frac{56}{98} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$.

5. Verificar o intervalo:
   O valor $c \approx 0.5714$ pertence ao intervalo (0,55; 0,58).

(A) Correta: O valor calculado de $c \approx 0.5714$ está contido neste intervalo.
(B) Incorreta: O valor $0.5714 não está neste intervalo. **(C) Incorreta:** O valor \0.5714 não está neste intervalo. **(D) Incorreta:** O valor \0.5714 não está neste intervalo. **(E) Incorreta:** O valor \0.5714$não está neste intervalo. **Armadilha:** Este distrator é tentador por estar muito próximo ao valor correto, mas o intervalo (0,58; 0,62) começa *após* o valor de$c$, o que indica um erro de cálculo ou arredondamento. É crucial manter a precisão nos cálculos ou verificar cuidadosamente os limites do intervalo.