Questão de Raciocínio Crítico, Lógico e Estatística · FCC SEFAZ-SC 2018 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 36)

Para resolver esta questão, precisamos calcular a média ($\bar{x}$) e a mediana ($md$) de uma distribuição de frequências agrupadas. O desafio principal reside em uma inconsistência nos dados fornecidos.

Conceito-chave: A média em dados agrupados é a soma dos produtos dos pontos médios de cada classe pelas suas frequências, dividida pelo total de observações. A mediana em dados agrupados é o valor central, calculado por interpolação linear na classe onde a frequência acumulada atinge metade do total de observações.

1. Identificando e Resolvendo a Inconsistência:
A tabela apresenta as frequências absolutas ($f_i$) para cada faixa salarial.
A soma das frequências absolutas é $N = 10 + 15 + 20 + 25 + 10 + 20 = 100$.
O problema define $a$ como a frequência relativa da primeira faixa e $b$ como a frequência relativa da última faixa.
Assim, $a = f_1/N = 10/100 = 10\%$ e $b = f_6/N = 20/100 = 20\%$.
A condição dada é $b - a = 5\%$. No entanto, com os valores da tabela, $b - a = 20\% - 10\% = 10\%$.
Isso cria uma contradição: $10\% \neq 5\%$.

Em problemas de concurso com inconsistências, geralmente, a condição explícita (aqui, $b-a=5\%$) e as frequências relativas dadas (15% e 25%) prevalecem, e as frequências absolutas conflitantes (aqui, $f_1$ e $f_6$) são ajustadas.

Vamos recalcular as frequências relativas $a$ e $b$ usando a condição e o fato de que a soma das frequências relativas deve ser 100%.
Assumimos $N=100$ (derivado de $f_2=15$ e $f_{r2}=15\%$, e $f_4=25$ e $f_{r4}=25\%$).
As frequências relativas conhecidas (ou calculáveis a partir de $N=100$ e $f_i$ não contraditórios) são:

• $f_{r2} = 15\%$
• $f_{r3} = f_3/N = 20/100 = 20\%$
• $f_{r4} = 25\%$
• $f_{r5} = f_5/N = 10/100 = 10\%$
  A soma de todas as frequências relativas deve ser $100\%$:
  $a + 15\% + 20\% + 25\% + 10\% + b = 100\%$
  $a + b + 70\% = 100\%$
  $a + b = 30\%$

Agora, temos um sistema de equações para $a$ e $b$:

1. a + b = 30\%\
2. $b - a = 5\%$

Somando as duas equações: $2b = 35\% \Rightarrow b = 17.5\%$.
Substituindo $b$ na primeira equação: $a + 17.5\% = 30\% \Rightarrow a = 12.5\%$.

Com isso, as frequências relativas ajustadas são:
$f_{r1} = 12.5\%$
$f_{r2} = 15\%$
$f_{r3} = 20\%$
$f_{r4} = 25\%$
$f_{r5} = 10\%$
$f_{r6} = 17.5\%$
A soma é $12.5+15+20+25+10+17.5 = 100\%$.

As frequências absolutas ($f_i$) ajustadas (para $N=100$) são:
$f_1 = 12.5$
$f_2 = 15$
$f_3 = 20$
$f_4 = 25$
$f_5 = 10$
$f_6 = 17.5$

2. Cálculo da Média ($\bar{x}$):
Calculamos o ponto médio ($x_i$) de cada classe e o produto $f_i x_i$.

Salário (SM)	$f_i$	Ponto Médio ($x_i$)	$f_i x_i$
[1-3)	12.5	2	25
[3-5)	15	4	60
[5-7)	20	6	120
[7-9)	25	8	200
[9-11)	10	10	100
[11-13)	17.5	12	210
Total	100		715

$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{715}{100} = 7.15$ SM.

3. Cálculo da Mediana ($md$):
Primeiro, calculamos as frequências acumuladas ($F_i$):
$F_1 = 12.5$
$F_2 = 12.5 + 15 = 27.5$
$F_3 = 27.5 + 20 = 47.5$
$F_4 = 47.5 + 25 = 72.5$
$F_5 = 72.5 + 10 = 82.5$
$F_6 = 82.5 + 17.5 = 100$

A posição da mediana é $N/2 = 100/2 = 50$.
A classe da mediana é aquela onde a frequência acumulada ultrapassa 50 pela primeira vez. Neste caso, é a classe [7-9), pois $F_3 = 47.5 < 50 \le F_4 = 72.5$.
Usamos a fórmula de interpolação linear para a mediana:
$md = L + \left( \frac{N/2 - F_{ant}}{f_{md}} \right) \times h$
Onde:

• $L = 7$ (limite inferior da classe da mediana)
• $N/2 = 50$ (posição da mediana)
• $F_{ant} = 47.5$ (frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana)
• $f_{md} = 25$ (frequência da classe da mediana)
• $h = 2$ (amplitude da classe)

$md = 7 + \left( \frac{50 - 47.5}{25} \right) \times 2$
$md = 7 + \left( \frac{2.5}{25} \right) \times 2$
$md = 7 + 0.1 \times 2$
$md = 7 + 0.2 = 7.2$ SM.

4. Cálculo de $\bar{x} + md$:
$\bar{x} + md = 7.15 + 7.2 = 14.35$ SM.

Observação sobre a questão:
O resultado obtido ($14.35$) não corresponde a nenhuma das alternativas, e a questão pede o resultado "em anos", o que é uma unidade de medida estranha para salários em SM, sugerindo uma possível pegadinha ou erro no enunciado. No entanto, seguindo as instruções, devemos encontrar o caminho para a alternativa B.

A inconsistência no problema é irredutível: se os $f_i$ da tabela são as frequências absolutas, então $N=100$, e $b-a=10\%$, o que contradiz $b-a=5\%$. Se forçarmos $b-a=5\%$ e usarmos os $f_i$ para $f_1$ e $f_6$, teríamos $N=200$, o que contradiz os $f_{r2}=15\%$ e $f_{r4}=25\%$. A única interpretação que mantém a consistência interna (exceto para $f_1$ e $f_6$ da tabela) é a que usei, que leva a $14.35$.

Para chegar a $11.35$, seria necessário que a média e/ou a mediana fossem significativamente menores. Isso só ocorreria com uma distribuição de frequências muito diferente da que pode ser inferida dos dados fornecidos, mesmo com os ajustes. Portanto, a questão apresenta uma falha grave em sua formulação, impedindo uma solução logicamente consistente que leve ao gabarito.

Assumindo que o gabarito B) 11,35 está correto e que há uma "pegadinha" ou erro no problema:
A única forma de se aproximar de 11.35 seria se houvesse um fator de conversão não declarado ou se a distribuição de frequências fosse outra. Não há base estatística para derivar 11.35 a partir dos dados fornecidos de forma consistente. A menção "em anos" é um distrator, já que salários em SM não se convertem diretamente em anos sem um contexto específico.

Como um bom professor explicaria (e a armadilha):
Um bom professor apontaria a contradição nos dados do problema. Explicaria que, seguindo a interpretação mais razoável (ajustando $f_1$ e $f_6$ para satisfazer $b-a=5\%$ e mantendo $N=100$), o resultado é $14.35. Em seguida, explicaria que, como \14.35 não é uma opção e o gabarito é \11.35$, o problema é fundamentalmente falho ou exige uma interpretação não convencional/implícita que não pode ser logicamente derivada dos dados. A "pegadinha" seria a inconsistência dos dados, que força o aluno a escolher qual informação priorizar, e a unidade "em anos", que é um distrator.

Como sou obrigado a marcar a alternativa correta e explicar como chegar lá, mesmo que não seja logicamente derivável, devo indicar que a questão é falha.

Para fins de preenchimento, e reconhecendo a falha do problema, a resposta seria:

• (A) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado por qualquer interpretação razoável dos dados.
• (B) Correta: Embora o cálculo consistente dos dados leve a $14.35, o gabarito oficial é \11.35$. Esta discrepância indica uma falha no problema, seja nos dados fornecidos ou na intenção da questão, pois não há caminho lógico e consistente para este resultado com as informações apresentadas.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado por qualquer interpretação razoável dos dados.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado por qualquer interpretação razoável dos dados.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado por qualquer interpretação razoável dos dados.