Questão de Raciocínio Crítico, Lógico e Estatística · FCC SEFAZ-SC 2018 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 33)

A Teoria dos Conjuntos e os Diagramas de Venn nos ajudam a organizar e visualizar informações sobre grupos de elementos que podem ter características em comum (neste caso, preferências por fragrâncias de detergente), permitindo calcular o tamanho de cada grupo e suas intersecções.

Passo a passo da resolução:

1. Definir as variáveis e o universo:

   • Total de pessoas (U) = 200.
   • Fragrâncias: L (Lavanda), C (Coco), Li (Limão), Ma (Maçã).
   • Cada pessoa escolheu no mínimo uma e no máximo quatro fragrâncias.

2. Traduzir as informações em termos de conjuntos:

   • A) Nenhuma pessoa gostou de exatamente duas fragrâncias: Isso significa que se uma pessoa gostou de duas fragrâncias, ela obrigatoriamente gostou de uma terceira ou quarta. Em termos de regiões de um Diagrama de Venn, qualquer região que represente a intersecção de apenas dois conjuntos (e não de três ou quatro) é vazia (igual a 0).
   • B) 120 pessoas gostaram de coco (C): $|C| = 120$.
   • C) Nenhuma delas gostou apenas de coco: $|C \setminus (L \cup Li \cup Ma)| = 0$.
   • D) 10 pessoas gostaram apenas de lavanda (L): $|L \setminus (C \cup Li \cup Ma)| = 10$.
   • E) 10 pessoas gostaram apenas de limão (Li): $|Li \setminus (L \cup C \cup Ma)| = 10$.
   • F) 85 pessoas não gostaram de maçã (Ma): $|U| - |Ma| = 85 \implies 200 - |Ma| = 85 \implies |Ma| = 115$.
   • G) Todas as pessoas que gostaram de maçã (Ma) gostaram, também, de limão (Li): Isso significa que o conjunto de Maçã está contido no conjunto de Limão ($Ma \subseteq Li$). Se alguém gosta de Maçã, automaticamente gosta de Limão.
   • H) Todas as pessoas que gostaram de lavanda (L) e coco (C) não gostaram de maçã (Ma): $(L \cap C) \cap Ma = \emptyset$.

3. Identificar a "pegadinha" e as regiões do diagrama:
   A informação crucial é "nenhuma pessoa gostou de exatamente duas fragrâncias" (A) combinada com "$Ma \subseteq Li$" (G).
   Se $Ma \subseteq Li$, então qualquer pessoa que gosta de Maçã também gosta de Limão.
   Considere a região de pessoas que gostam apenas de Maçã e Limão (e não de Lavanda ou Coco). Essa região é $Ma \setminus (L \cup C)$. Essas pessoas gostam de exatamente duas fragrâncias (Maçã e Limão).
   Pela condição (A), essa região deve ser zero. Portanto, $|Ma \setminus (L \cup C)| = 0$.

   Vamos definir as regiões não-vazias (onde $x_i$ é o número de pessoas):

   • $L_{apenas} = 10$ (gostam só de Lavanda)
   • $Li_{apenas} = 10$ (gostam só de Limão)
   • $C_{apenas} = 0$ (gostam só de Coco, pela condição C)
   • $Ma_{apenas}$ (gostam só de Maçã) = 0 (pois $Ma \subseteq Li$, então quem gosta só de Maçã, gosta de Maçã E Limão, ou seja, duas fragrâncias, o que é proibido pela condição A).
   • $x_1 = |L \cap C \cap Li \setminus Ma|$: Gostam de L, C, Li, mas não de Ma. (Pela condição H, quem gosta de L e C não gosta de Ma. Pela condição A, quem gosta de L e C deve gostar de uma terceira, que só pode ser Li).
   • $x_2 = |L \cap Ma \setminus C|$: Gostam de L, Ma (e, portanto, Li), mas não de C. (Gostam de L, Ma, Li - 3 fragrâncias).
   • $x_3 = |C \cap Ma \setminus L|$: Gostam de C, Ma (e, portanto, Li), mas não de L. (Gostam de C, Ma, Li - 3 fragrâncias).
   • $x_4 = |Ma \setminus (L \cup C)|$: Gostam de Ma (e, portanto, Li), mas não de L nem C. (Gostam de Ma e Li - 2 fragrâncias). Pela condição A, $x_4 = 0$.

4. Montar e resolver o sistema de equações:

   • Total de pessoas: $10 + 10 + 0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 200 \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 180$.
   • Pessoas que gostam de Coco: $|C| = C_{apenas} + x_1 + x_3 = 0 + x_1 + x_3 = 120 \implies x_1 + x_3 = 120$.
   • Pessoas que gostam de Maçã: $|Ma| = x_2 + x_3 + x_4 = 115$.

   Substituindo $x_4 = 0$:

   • $x_1 + x_2 + x_3 = 180$
   • $x_1 + x_3 = 120$
   • $x_2 + x_3 = 115$

   De $x_1 + x_3 = 120$, substituímos na primeira equação:
   $120 + x_2 = 180 \implies x_2 = 60$.

   Agora, com $x_2 = 60$, substituímos na terceira equação:
   $60 + x_3 = 115 \implies x_3 = 55$.

   Com $x_3 = 55$, substituímos na segunda equação:
   $x_1 + 55 = 120 \implies x_1 = 65$.

   Então, temos as quantidades para cada região:

   • $L_{apenas} = 10$
   • $Li_{apenas} = 10$
   • $C_{apenas} = 0$
   • $x_1 = 65$ (L, C, Li, não Ma)
   • $x_2 = 60$ (L, Ma, Li, não C)
   • $x_3 = 55$ (C, Ma, Li, não L)
   • $x_4 = 0$ (Ma, Li, não L, não C)

5. Calcular o total de pessoas para cada fragrância:

   • Lavanda (L): $L_{apenas} + x_1 + x_2 = 10 + 65 + 60 = 135$.
   • Coco (C): $C_{apenas} + x_1 + x_3 = 0 + 65 + 55 = 120$. (Confere com o dado inicial).
   • Limão (Li): $Li_{apenas} + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10 + 65 + 60 + 55 + 0 = 190$.
   • Maçã (Ma): $x_2 + x_3 + x_4 = 60 + 55 + 0 = 115$. (Confere com o dado inicial).

6. Identificar as duas fragrâncias mais escolhidas:

   • Limão: 190
   • Lavanda: 135
   • Coco: 120
   • Maçã: 115

   As duas fragrâncias mais escolhidas são Limão e Lavanda.

Análise das Alternativas:

• (A) Correta: limão e lavanda. Com 190 e 135 preferências, respectivamente, são as duas fragrâncias mais escolhidas.
• (B) Incorreta: limão e coco. Coco (120) tem menos preferências que Lavanda (135). Esta seria uma alternativa tentadora se o aluno não identificasse que a região $x_4$ é zero, o que faria o número de preferências por Lavanda ser menor (75), tornando Coco a segunda mais votada.
• (C) Incorreta: maçã e limão. Maçã (115) tem menos preferências que Coco (120) e Lavanda (135).
• (D) Incorreta: lavanda e coco. Embora sejam próximas, Limão (190) é a mais votada, e Lavanda (135) é a segunda.
• (E) Incorreta: lavanda e maçã. Maçã (115) tem menos preferências que Coco (120) e Lavanda (135).