Questão de Estatística · FCC SEFAZ-BA 2019 (nº 55)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de uma faixa de valores onde a verdadeira média da população (μ) provavelmente se encontra, com um certo nível de certeza (nível de confiança). Como a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30), usamos a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.

Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
$IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral.
• $t_{\alpha/2, n-1}$ é o valor crítico da distribuição t de Student para um nível de significância $\alpha/2$ e $n-1$ graus de liberdade.
• $s$ é o desvio padrão amostral.
• $n$ é o tamanho da amostra.

Passo a passo:

1. Dados fornecidos:

   • Média amostral ($\bar{x}$) = 15
   • Variância amostral ($s^2$) = 16 $\Rightarrow$ Desvio padrão amostral ($s$) = $\sqrt{16} = 4$
   • Tamanho da amostra ($n$) = 9
   • Nível de confiança = 90%

2. Graus de liberdade (df):

   • df = n - 1 = 9 - 1 = 8\

3. Nível de significância ($\alpha$):

   • Para um nível de confiança de 90%, $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$.
   • Para um intervalo bilateral, precisamos de $\alpha/2 = 0.10 / 2 = 0.05$.

4. Valor crítico t de Student:

   • A questão informa que $P(t \geq t_{0,05}) = 0,05$ para um teste unicaudal. Este é exatamente o valor que precisamos para $\alpha/2$ em um intervalo de confiança de 90%.
   • Consultando a tabela t de Student fornecida, para $df = 8$ e probabilidade de uma cauda (p) = 0.05, encontramos $t_{0.05, 8} = 1.860$.

5. Erro padrão da média ($SE$):

   • SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}\

6. Margem de erro ($E$):

   • E = t_{\alpha/2, n-1} \times SE = 1.860 \times \frac{4}{3} = 1.860 \times 1.3333... = 2.48\

7. Cálculo do Intervalo de Confiança:

   • $IC = \bar{x} \pm E = 15 \pm 2.48$
   • Limite inferior = $15 - 2.48 = 12.52$
   • Limite superior = $15 + 2.48 = 17.48$
   • Portanto, o intervalo de confiança é $(12.52 ; 17.48)$.

Análise das Alternativas:

• A) Incorreta: O cálculo da margem de erro resultaria em 2.44, o que implicaria um valor t diferente do correto.
• B) Incorreta: O cálculo da margem de erro resultaria em 1.24, o que implicaria um valor t muito menor que o correto.
• C) Incorreta: O cálculo da margem de erro resultaria em 2.53, o que implicaria um valor t diferente do correto.
• D) Incorreta: O cálculo da margem de erro resultaria em 2.41, o que implicaria um valor t diferente do correto.
• (E) Correta: O intervalo $(12.52 ; 17.48)$ é obtido usando a média amostral de 15 e a margem de erro de 2.48, calculada com o valor t correto de 1.860 e o erro padrão de $4/3$. A "armadilha" da banca aqui é a proximidade numérica das alternativas, exigindo precisão no cálculo e na leitura da tabela t de Student.