Questão de Estatística · FCC SEFAZ-BA 2019 (nº 54)

A Distribuição Normal descreve dados que se agrupam em torno de uma média, formando uma curva em forma de sino. Para comparar valores de diferentes distribuições normais ou encontrar probabilidades, usamos o Escore Z, que padroniza um valor ao indicar quantas unidades de desvio padrão ele está acima ou abaixo da média em uma Distribuição Normal Padrão (com média 0 e desvio padrão 1).

Primeiro, vamos encontrar o desvio padrão ($\sigma$) da quantidade de óleo.
Sabemos que a média ($\mu$) é 50 litros.
5% dos valores são inferiores a 41,8 litros, ou seja, $P(Q < 41.8) = 0.05$.
Para encontrar o Z-score correspondente a 0.05 na tabela (que mostra $P(Z \le z)$), procuramos o valor mais próximo de 0.05. Na tabela, $P(Z \le -1.64) = 0.0505$. Usaremos $Z = -1.64$.
A fórmula do Z-score é $Z = \frac{Q - \mu}{\sigma}$.
Substituindo os valores: $-1.64 = \frac{41.8 - 50}{\sigma}$
$-1.64 = \frac{-8.2}{\sigma}$
$\sigma = \frac{-8.2}{-1.64} = 5$ litros.

Agora, vamos encontrar o valor de $x$.
Sabemos que 90% dos valores possuem um valor de no máximo $x$ litros, ou seja, $P(Q \le x) = 0.90$.
Procuramos na tabela o Z-score correspondente a 0.90. O valor mais próximo é $P(Z \le 1.28) = 0.8997$. Usaremos $Z = 1.28$.
Novamente, usando a fórmula do Z-score: $1.28 = \frac{x - 50}{5}$
$1.28 \times 5 = x - 50$
$6.4 = x - 50$$x = 50 + 6.4 = 56.4$ litros.

Alternativas:
(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se, após calcular o desvio padrão corretamente ($\sigma=5$), o Z-score para 90% fosse confundido com o Z-score para 95% (aproximadamente 1.64), resultando em $x = 50 + 1.64 \times 5 = 58.2$. Armadilha da banca: Confundir percentis ou níveis de confiança.
(B) Correta: O valor de $x$ é 56,4 litros, calculado corretamente usando os Z-scores apropriados para 5% e 90% da distribuição.
(C) Incorreta: Esta alternativa resultaria de usar um Z-score de aproximadamente 1.96 (que corresponde a 97.5%, frequentemente usado em intervalos de confiança de 95% bicaudais), resultando em $x = 50 + 1.96 \times 5 = 59.8$.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo direto com os Z-scores da tabela e o desvio padrão encontrado.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo direto com os Z-scores da tabela e o desvio padrão encontrado.