Questão de Estatística · FCC SEFAZ-BA 2019 (nº 56)

O Erro Tipo I acontece quando rejeitamos a hipótese nula ($H_0$) mesmo ela sendo verdadeira. É como um "falso positivo" no teste, e sua probabilidade é geralmente denotada por $\alpha$.

• H0: p = 0,5 (a probabilidade do evento é 50%)
• H1: p ≠ 0,5 (a probabilidade do evento não é 50%)
• Amostra: 10 dias ($n=10$)
• Regra de rejeição: Rejeitar $H_0$ se o número de dias com o evento ($X$) for menor que 2 ($X < 2$, ou seja, $X=0$ ou $X=1$) OU maior que 8 ($X > 8$, ou seja, $X=9$ ou $X=10$).

Para calcular a probabilidade de Erro Tipo I, precisamos calcular a probabilidade de rejeitar $H_0$ assumindo que $H_0$ é verdadeira.
Se $H_0$ é verdadeira, então $p=0,5$. O número de dias com o evento ($X$) segue uma distribuição binomial $B(n=10, p=0,5)$.
A probabilidade de um valor específico $k$ em uma binomial é $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Neste caso, $P(X=k) = \binom{10}{k} (0,5)^k (0,5)^{10-k} = \binom{10}{k} (0,5)^{10} = \frac{\binom{10}{k}}{2^{10}} = \frac{\binom{10}{k}}{1024}$.

A probabilidade de Erro Tipo I ($\alpha$) é $P(X < 2 \text{ ou } X > 8 \mid p=0,5)$:
$\alpha = P(X=0) + P(X=1) + P(X=9) + P(X=10)$

Calculando cada termo:

• $P(X=0) = \frac{\binom{10}{0}}{1024} = \frac{1}{1024}$
• $P(X=1) = \frac{\binom{10}{1}}{1024} = \frac{10}{1024}$
• $P(X=9) = \frac{\binom{10}{9}}{1024} = \frac{10}{1024}$ (pois $\binom{10}{9} = \binom{10}{1}$)
• $P(X=10) = \frac{\binom{10}{10}}{1024} = \frac{1}{1024}$ (pois $\binom{10}{10} = \binom{10}{0}$)

Somando as probabilidades:
$\alpha = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{1+10+10+1}{1024} = \frac{22}{1024}$.

Simplificando a fração:
$\frac{22}{1024} = \frac{11}{512}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (21/1024) seria obtida se o cálculo esquecesse um dos eventos extremos da cauda, por exemplo, se o aluno calculasse $P(X=1) + P(X=9) + P(X=10) = 10/1024 + 10/1024 + 1/1024 = 21/1024$, esquecendo $P(X=0)$. Essa é uma armadilha comum, pois "menor que 2" inclui 0 e 1.
(B) Incorreta: Esta alternativa (5/256 = 20/1024) seria obtida se o aluno considerasse apenas $P(X=1) + P(X=9) = 10/1024 + 10/1024 = 20/1024$, esquecendo os eventos $X=0$ e $X=10$.
(C) Correta: A probabilidade de Erro Tipo I é a soma das probabilidades dos eventos $X=0, X=1, X=9, X=10$ quando $p=0,5$, resultando em $\frac{1+10+10+1}{1024} = \frac{22}{1024} = \frac{11}{512}$.
(D) Incorreta: Esta alternativa (5/512 = 10/1024) corresponderia apenas a $P(X=1)$ ou $P(X=9)$ isoladamente.
(E) Incorreta: Esta alternativa (1/512 = 2/1024) corresponderia apenas a $P(X=0) + P(X=10)$.