Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC SEDU-ES 2022 (nº 55)

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Neste problema, queremos que a razão entre o número de rapazes e o número TOTAL de pessoas em cada grupo seja a mesma após a transferência.

Seja $x$ o número de rapazes transferidos do Grupo A para o Grupo B.
Inicialmente:
Grupo A: 12 rapazes, 6 moças. Total = 18 pessoas.
Grupo B: 0 rapazes, 18 moças. Total = 18 pessoas.

Após a transferência de $x$ rapazes:
Grupo A: $(12 - x)$ rapazes, 6 moças. Total = $(12 - x) + 6 = 18 - x$ pessoas.
A proporção de rapazes no Grupo A será $\frac{12 - x}{18 - x}$.

Grupo B: $x$ rapazes, 18 moças. Total = $x + 18$ pessoas.
A proporção de rapazes no Grupo B será $\frac{x}{x + 18}$.

Para que as proporções sejam iguais:
$\frac{12 - x}{18 - x} = \frac{x}{x + 18}$
Multiplicando em cruz:
$(12 - x)(x + 18) = x(18 - x)$
$12x + 216 - x^2 - 18x = 18x - x^2$
Cancelando $-x^2$ em ambos os lados:
$216 - 6x = 18x$
$216 = 18x + 6x$
$216 = 24x$
$x = \frac{216}{24}$
$x = 9$

(A) Incorreta: Se 8 rapazes fossem transferidos, a proporção no Grupo A seria $\frac{12-8}{18-8} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ e no Grupo B seria $\frac{8}{18+8} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}$. As proporções não são iguais ($2/5 \neq 4/13$).
(B) Incorreta: Se 5 rapazes fossem transferidos, a proporção no Grupo A seria $\frac{12-5}{18-5} = \frac{7}{13}$ e no Grupo B seria $\frac{5}{18+5} = \frac{5}{23}$. As proporções não são iguais ($7/13 \neq 5/23$).
(C) Incorreta: Se 6 rapazes fossem transferidos, a proporção no Grupo A seria $\frac{12-6}{18-6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ e no Grupo B seria $\frac{6}{18+6} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. As proporções não são iguais ($1/2 \neq 1/4$). A armadilha da banca aqui é confundir "proporção de rapazes" com o "número de rapazes", pois 6 rapazes em cada grupo após a transferência faria o número de rapazes ser igual, mas não a proporção.
(D) Incorreta: Se 3 rapazes fossem transferidos, a proporção no Grupo A seria $\frac{12-3}{18-3} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ e no Grupo B seria $\frac{3}{18+3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$. As proporções não são iguais ($3/5 \neq 1/7$).
(E) Correta: Conforme o cálculo, 9 rapazes devem ser transferidos. Após a transferência de 9 rapazes, o Grupo A terá $12-9=3$rapazes e 6 moças (total de 9 pessoas), com proporção de rapazes de$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. O Grupo B terá 9 rapazes e 18 moças (total de 27 pessoas), com proporção de rapazes de$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. As proporções são iguais, cumprindo a condição do problema.