Questão nº 20

Questão de Matemática Financeira e Estatística · FCC Prefeitura de São Luís 2018 (nº 20)

FCC2018Comum Auditor Fiscal de Tributos IMatemática Financeira e Estatística

Analisando um gráfico de dispersão referente a 10 pares de observações $(t, Y_t)$ com $t = 1, 2, 3, \ldots, 10$ , optou-se por utilizar o modelo linear $Y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t$ com o objetivo de se prever a variável Y, que representa o faturamento anual de uma empresa em milhões de reais, no ano $(2007 + t)$ . Os parâmetros $\alpha$ e $\beta$ são desconhecidos e $\varepsilon_t$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. As estimativas de $\alpha$ e $\beta$ ( $a$ e $b$ , respectivamente) foram obtidas por meio do método dos mínimos quadrados com base nos dados dos 10 pares de observações citados. Se $a = 2$ e a soma dos faturamentos dos 10 dados observados foi de 64 milhões de reais, então, pela equação da reta obtida, a previsão do faturamento para 2020 é, em milhões de reais, de

A11,6
B15,0
C13,2
D12,4 (alternativa correta)
E14,4

Resposta comentada

Gabarito Alternativa D

Conceito-chave: Na regressão linear simples, a reta ajustada passa pelo ponto das médias $(\bar{t}, \bar{Y})$ . Isso significa que, se você conhece a média de $t$ e a média de $Y$ , e o intercepto $a$ , pode descobrir o coeficiente angular $b$ e então fazer a previsão para qualquer $t$ futuro.

(A) Incorreta: 11,6 seria o resultado se você usasse $t=10$ (último ano) em vez de $t=13$ (ano 2020), pois $2020 - 2007 = 13$, não 10.
(B) Incorreta: 15,0 seria obtido se você calculasse $b$ errado, usando a soma total (64) dividida por 10 como se fosse a média de $Y$ e depois somasse $a$ sem multiplicar por $t$ corretamente.
(C) Incorreta: 13,2 é um valor que surge se você confundir o ano 2020 com $t=12$ (2020-2008) ou errar o cálculo de $b$ ao usar $\bar{t} = 5,5$ de forma incorreta.
(D) Correta: A média de $t$ é $\bar{t} = \frac{1+2+\cdots+10}{10} = 5,5$ . A média de $Y$ é $\bar{Y} = \frac{64}{10} = 6,4$ . Como a reta passa por $(\bar{t}, \bar{Y})$ , temos $6,4 = a + b \cdot 5,5$ . Com $a=2$ , então $6,4 = 2 + 5,5b \Rightarrow b = \frac{4,4}{5,5} = 0,8$ . Para 2020, $t = 2020 - 2007 = 13$ . Previsão: $\hat{Y} = 2 + 0,8 \cdot 13 = 2 + 10,4 = 12,4$ milhões.
(E) Incorreta: 14,4 seria o resultado se você usasse $t=15,5$ (metade do intervalo) ou se esquecesse de subtrair 2007 e usasse $t=2020$ diretamente na equação, o que é um erro comum de escala temporal.

Fonte: FCC Prefeitura de São Luís 2018 Conhecimentos Comuns (Auditor Fiscal de Tributos I) (Caderno Tipo 001). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Matemática Financeira e Estatística · FCC Prefeitura de São Luís 2018 (nº 20)

Resposta comentada

Continue estudando