Questão de Raciocínio Lógico · FCC PMSP Analista TIC 2025 (nº 15)

Este problema de raciocínio lógico exige a montagem e resolução de um sistema de equações a partir de diversas informações textuais, onde cada pista é uma equação ou uma restrição, e a solução correta é aquela que satisfaz todas as condições simultaneamente.

Vamos definir as variáveis:

• $V_X$: número de vitórias da pessoa X.
• Analistas: B (Basil), D (Dario), G (Gaspar).
• Estagiários: N (Nilo), R (Ravi), T (Tadeu).
• $I_A$: estagiário do analista A. Ex: $I_B$ é o estagiário de Basil. O conjunto $\{I_B, I_D, I_G\}$ é uma permutação de $\{N, R, T\}$.

Informações dadas:

1. Total de partidas = 101. ($V_B + V_D + V_G + V_N + V_R + V_T = 101$)
2. Nilo venceu 28 partidas. ($V_N = 28$)
3. Dario venceu o mesmo número de partidas que o estagiário de Basil. ($V_D = V_{I_B}$)
4. Gaspar venceu metade das partidas do estagiário de Dario. ($V_G = V_{I_D} / 2$)
5. Basil venceu uma partida a mais que Ravi. ($V_B = V_R + 1$)
6. Estagiário que mais venceu = Estagiário que menos venceu + 21. ($V_{I_{max}} = V_{I_{min}} + 21$)
7. Analista que mais venceu = Estagiário que menos venceu + 6. ($V_{A_{max}} = V_{I_{min}} + 6$)

Deduções e Resolução:

• Da condição (4), $V_G = V_{I_D} / 2$, o número de vitórias do estagiário de Dario ($V_{I_D}$) deve ser um número par para que $V_G$ seja um número inteiro.
• Da condição (5), $V_B = V_R + 1$, se $V_R$ for ímpar, $V_B$ será par; se $V_R$ for par, $V_B$ será ímpar.
• Os estagiários são Nilo (28 vitórias), Ravi ($V_R$) e Tadeu ($V_T$). A lista de vitórias dos estagiários é $\{28, V_R, V_T\}$.
• Da condição (6), $V_{I_{max}} = V_{I_{min}} + 21$.
• Da condição (7), $V_{A_{max}} = V_{I_{min}} + 6$.

Vamos testar as possibilidades para as vitórias dos estagiários, considerando que Nilo (28) pode ser o mínimo, o máximo ou o valor intermediário.

1. Nilo é o estagiário com menos vitórias ($V_{I_{min}} = 28$):

   • $V_{I_{max}} = 28 + 21 = 49$.
   • Então, as vitórias dos estagiários seriam $\{28, X, 49\}$, onde $28 \le X \le 49$.
   • $V_{A_{max}} = V_{I_{min}} + 6 = 28 + 6 = 34$.
   • Como $V_B = V_R + 1$, e $V_R$ é um dos $X$ ou $49$. Se$V_R=49$, então$V_B=50$, o que contradiz$V_{A_{max}} = 34$. Logo,$V_R=X$, e$V_T=49$.
   • Assim, $V_R \le 33$.
   • $V_D = V_{I_B}$ e $V_G = V_{I_D}/2$. $V_D, V_G \le 34$.
   • Se $I_B = T$ (Tadeu), $V_D = V_T = 49$, o que contradiz $V_D \le 34$. Então $I_B \ne T$.
   • Portanto, $I_B$ deve ser Nilo ($V_N=28$) ou Ravi ($V_R=X$).
   • Se $I_D = T$ (Tadeu), $V_{I_D}=49$, que é ímpar. $V_G = 49/2 = 24.5$, não inteiro. Então $I_D \ne T$.
   • Portanto, $I_D$ deve ser Nilo ($V_N=28$) ou Ravi ($V_R=X$).
   • Se $I_B=R$ e $I_D=N$: $V_B=V_R+1=X+1$, $V_D=V_N=28$, $V_G=V_R/2=X/2$. $V_{A_{max}} = \max(X+1, 28, X/2)$. Como $X \ge 28$, $V_{A_{max}}=X+1$. Pela condição (7), $X+1 = X+6 \implies 1=6$, uma contradição.
   • Este cenário é inválido.

2. Nilo é o estagiário com mais vitórias ($V_{I_{max}} = 28$):

   • $28 = V_{I_{min}} + 21 \implies V_{I_{min}} = 7$.
   • Então, as vitórias dos estagiários seriam $\{7, X, 28\}$, onde $7 \le X \le 28$.
   • $V_{A_{max}} = V_{I_{min}} + 6 = 7 + 6 = 13$.
   • $V_B = V_R+1 \le 13 \implies V_R \le 12$. Assim, Ravi ($V_R$) deve ser 7 ou $X$ (se $X \le 12$).
   • $V_D = V_{I_B} \le 13$. Então $I_B \ne Nilo$.
   • $V_G = V_{I_D}/2 \le 13 \implies V_{I_D} \le 26$. Então $I_D \ne Nilo.
   • Como Nilo não pode ser estagiário de Basil nem de Dario, Nilo deve ser estagiário de Gaspar ($I_G=N$).
   • Assim, $\{I_B, I_D\}$ é uma permutação de $\{R, T\}$.
   • Se $V_R=7$, então $V_B=8$.
   • Se $I_D=R$, então $V_{I_D}=7$ (ímpar). $V_G = 7/2 = 3.5$, não inteiro. Então $I_D \ne R$.
   • Se $I_D=T$, então $V_{I_D}=X$. $V_G = X/2$. $X$ deve ser par.
   • Neste caso, $V_R=7$ e $V_T=X$. $I_B=R$ e $I_D=T$.
   • $V_B=V_R+1=8$. $V_D=V_{I_B}=V_R=7$. $V_G=V_{I_D}/2=V_T/2=X/2$.
   • Soma total: $V_B+V_D+V_G+V_N+V_R+V_T = 8+7+X/2+28+7+X = 50 + 3X/2 = 101$.
   • $3X/2 = 51 \implies 3X = 102 \implies X = 34$.
   • Este $X=34$ contradiz $X \le 28$.
   • Este cenário é inválido.

3. Nilo é o estagiário com vitórias intermediárias ($V_{I_{min}} < 28 < V_{I_{max}}$):

   • As vitórias dos estagiários são $\{V_R, 28, V_T\}$, onde $V_R = V_{I_{min}}$ e $V_T = V_{I_{max}}$.

   • $V_T = V_R + 21$.

   • $V_{A_{max}} = V_R + 6$.

   • $V_B = V_R + 1$.

   • Lembre-se que $V_{I_D}$ deve ser par.

   • Subcaso 3.1: Dario's intern is Nilo ($I_D=N$).

     • $V_{I_D}=28$ (par). $V_G = 28/2 = 14$.
     • Os estagiários restantes são Ravi ($V_R$) e Tadeu ($V_T=V_R+21$).
     • $V_B = V_R+1$.
     • $V_D = V_{I_B}$.
     • Se $I_B=R$, então $V_D=V_R$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, V_R, 14)$.
       • Se $V_R+1 \ge 14 \implies V_R \ge 13$, então $V_{A_{max}}=V_R+1$. Pela condição (7), $V_R+1 = V_R+6 \implies 1=6$, contradição.
       • Se $V_R+1 < 14 \implies V_R < 13$, então $V_{A_{max}}=14$. Pela condição (7), $14 = V_R+6 \implies V_R=8$.
       • Verificando $V_R=8$: Internos $\{8, 28, 29\}$. Analistas $\{V_B=9, V_D=8, V_G=14\}$.
       • Soma total: $9+8+14+28+8+29 = 96 \ne 101$. Inválido.
     • Se $I_B=T$, então $V_D=V_T=V_R+21$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, V_R+21, 14)$.
       • Como $V_R \ge 8$, $V_R+21$ é sempre o maior. $V_{A_{max}}=V_R+21$.
       • Pela condição (7), $V_R+21 = V_R+6 \implies 21=6$, contradição. Inválido.

   • Subcaso 3.2: Dario's intern is Ravi ($I_D=R$).

     • $V_{I_D}=V_R$. $V_R$ deve ser par. $V_G = V_R/2$.
     • Os estagiários restantes são Nilo (28) e Tadeu ($V_T=V_R+21$).
     • $V_B = V_R+1$.
     • $V_D = V_{I_B}$.
     • Se $I_B=N$, então $V_D=V_N=28$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, 28, V_R/2)$.
       • Como $V_R \le 27$, $V_R+1 \le 28$. Então $V_{A_{max}}=28$.
       • Pela condição (7), $28 = V_R+6 \implies V_R=22$.
       • $V_R=22$ é par e está no intervalo $8 \le V_R \le 27$.
       • Verificando $V_R=22$: Internos $\{22, 28, 43\}$. Analistas $\{V_B=23, V_D=28, V_G=11\}$.
       • Soma total: $23+28+11+28+22+43 = 155 \ne 101$. Inválido.
     • Se $I_B=T$, então $V_D=V_T=V_R+21$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, V_R+21, V_R/2)$.
       • Como $V_R \ge 8$, $V_R+21$ é sempre o maior. $V_{A_{max}}=V_R+21$.
       • Pela condição (7), $V_R+21 = V_R+6 \implies 21=6$, contradição. Inválido.

   • Subcaso 3.3: Dario's intern is Tadeu ($I_D=T$).

     • $V_{I_D}=V_T=V_R+21$. $V_R+21$ deve ser par, então $V_R$ deve ser ímpar.
     • $V_G = (V_R+21)/2$.
     • Os estagiários restantes são Nilo (28) e Ravi ($V_R$).
     • $V_B = V_R+1$.
     • $V_D = V_{I_B}$.
     • Se $I_B=N$, então $V_D=V_N=28$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, 28, (V_R+21)/2)$.
       • Como $V_R \le 27$, $V_R+1 \le 28$. $V_{A_{max}}=28$.
       • Pela condição (7), $28 = V_R+6 \implies V_R=22$.
       • $V_R=22$ é par, mas neste subcaso $V_R$ deve ser ímpar. Contradição. Inválido.
     • Se $I_B=R$, então $V_D=V_R$. $V_{A_{max}} = \max(V_R+1, V_R, (V_R+21)/2)$.
       • Comparando $V_R+1$ e $(V_R+21)/2$: $2V_R+2$ vs $V_R+21 \implies V_R$ vs $19$.
       • Se $V_R > 19$ (e ímpar, ex: 21, 23, 25, 27), então $V_{A_{max}}=V_R+1$. Pela condição (7), $V_R+1 = V_R+6 \implies 1=6$, contradição.
       • Se $V_R < 19$ (e ímpar, ex: 9, 11, 13, 15, 17), então $V_{A_{max}}=(V_R+21)/2$. Pela condição (7), $(V_R+21)/2 = V_R+6 \implies V_R+21 = 2V_R+12 \implies V_R=9$.
       • $V_R=9$ é ímpar e está no intervalo $8 \le V_R \le 27$. Esta é a solução!

Solução Encontrada:

• $V_R = 9$.
• Vitórias dos estagiários: $V_N=28, V_R=9, V_T=V_R+21=9+21=30$.
  • $V_{I_{min}}=9, V_{I_{max}}=30$. Condição (6): $30 = 9+21$. OK.
• Atribuições dos estagiários:
  • Basil's intern ($I_B$) é Ravi ($V_R=9$).
  • Dario's intern ($I_D$) é Tadeu ($V_T=30$).
  • Gaspar's intern ($I_G$) é Nilo ($V_N=28$).
• Vitórias dos analistas:
  • $V_B = V_R+1 = 9+1=10$.
  • $V_D = V_{I_B} = V_R = 9$.
  • $V_G = V_{I_D}/2 = V_T/2 = 30/2=15$.
  • $V_{A_{max}}=15$. Condição (7): $15 = V_{I_{min}}+6 = 9+6$. OK.
• Soma total das vitórias: $V_B+V_D+V_G+V_N+V_R+V_T = 10+9+15+28+9+30 = 101$. Condição (1): OK.

A pergunta é: "Os estagiários de Dario e Gaspar venceram um total de"

• Estagiário de Dario é Tadeu ($V_T=30$).
• Estagiário de Gaspar é Nilo ($V_N=28$).
• Total = $V_T + V_N = 30 + 28 = 58$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (34) seria a soma das vitórias dos analistas (Basil, Dario e Gaspar) ($10+9+15=34), e não dos estagiários de Dario e Gaspar. **Armadilha da banca:** Confundir o analista com o estagiário do analista. **(B) Incorreta:** O valor calculado não corresponde aos dados do problema. **(C) Incorreta:** O valor calculado não corresponde aos dados do problema. **(D) Incorreta:** O valor calculado não corresponde aos dados do problema. **(E) Correta:** A soma das vitórias do estagiário de Dario (Tadeu, 30 vitórias) e do estagiário de Gaspar (Nilo, 28 vitórias) é \30 + 28 = 58$ partidas, satisfazendo todas as condições do problema.