Questão de Raciocínio Lógico · FCC PGE-AM 2022 (nº 23)

Em um torneio onde cada time joga contra todos os outros uma vez, o total de pontos distribuídos em todos os jogos deve ser igual à soma dos pontos de todos os times. A "pegadinha" é que a quantidade de pontos distribuídos por jogo varia: 3 pontos se há um vencedor (3 para o vencedor, 0 para o perdedor) e 2 pontos se há empate (1 para cada time).

• Total de jogos: Com 4 equipes (A, B, C, D), cada uma jogando contra as outras uma vez, o número de jogos é $C(4,2) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ jogos.
• Pontos distribuídos: Se todos os jogos tivessem um vencedor, o total de pontos seria $6 \times 3 = 18$. Se todos fossem empates, o total seria $6 \times 2 = 12$. Seja $D_e$ o número de empates. O total de pontos distribuídos será $3 \times (6 - D_e) + 2 \times D_e = 18 - 3D_e + 2D_e = 18 - D_e$.

Análise das pontuações conhecidas:

• A obteve 7 pontos: Em 3 jogos, a única forma de obter 7 pontos é com 2 vitórias (2x3=6) e 1 empate (1x1=1).
• B obteve 4 pontos: Em 3 jogos, a única forma de obter 4 pontos é com 1 vitória (1x3=3), 1 empate (1x1=1) e 1 derrota (1x0=0).
• C obteve 4 pontos: Pelo mesmo raciocínio de B, C também obteve 1 vitória, 1 empate e 1 derrota.

Reconstruindo os jogos:

1. Como A tem 2 vitórias e 1 empate, e B e C têm 1 vitória, 1 empate e 1 derrota, A deve ter vencido B e C.

   • A vs B: A (3), B (0)
   • A vs C: A (3), C (0)
   • A vs D: A (1), D (1) (Este é o empate de A)
   • Pontos de A: 3+3+1 = 7 (OK)

2. Agora, B e C têm 0 pontos contra A. Eles precisam de 4 pontos cada nos jogos restantes (B vs C, B vs D, C vs D).

   • B precisa de 4 pontos de B vs C e B vs D.
   • C precisa de 4 pontos de C vs B e C vs D.

3. Considerando o jogo B vs C:

   • Se B vence C: B (3), C (0). B precisaria de 1 ponto contra D (empate). C precisaria de 4 pontos contra D (impossível, máximo 3).
   • Se C vence B: C (3), B (0). C precisaria de 1 ponto contra D (empate). B precisaria de 4 pontos contra D (impossível).
   • Portanto, B e C devem ter empatado.
   • B vs C: B (1), C (1) (Este é o empate de B e C)

4. Com B (1) e C (1) do jogo entre si, e 0 pontos de A:

   • B precisa de 3 pontos do jogo B vs D. Isso significa B vence D (B=3, D=0).
   • C precisa de 3 pontos do jogo C vs D. Isso significa C vence D (C=3, D=0).
   • Pontos de B: 0 (vs A) + 1 (vs C) + 3 (vs D) = 4 (OK)
   • Pontos de C: 0 (vs A) + 1 (vs B) + 3 (vs D) = 4 (OK)

Pontos da equipe D:
D obteve pontos nos jogos:

• D vs A: Empate (D=1)
• D vs B: Derrota (D=0)
• D vs C: Derrota (D=0)
  Total de pontos de D = 1 + 0 + 0 = 1 ponto.

Verificação final:

• Total de pontos das equipes: $7 (A) + 4 (B) + 4 (C) + 1 (D) = 16$ pontos.

• Número de empates: A vs D (1 empate), B vs C (1 empate). Total de $D_e = 2$ empates.

• Total de pontos distribuídos: $18 - D_e = 18 - 2 = 16$ pontos.
  Os valores são consistentes.

• (A) Incorreta: Se D tivesse 2 pontos, a soma total seria 7+4+4+2 = 17 pontos. Isso implicaria 1 empate no torneio (18-1=17), o que contradiz a necessidade de A ter 1 empate e B/C terem 1 empate cada em suas pontuações individuais.

• (B) Incorreta: Se D tivesse 0 pontos, a soma total seria 7+4+4+0 = 15 pontos. Isso implicaria 3 empates no torneio (18-3=15), o que não se alinha com a reconstrução dos jogos e as pontuações de A, B e C.

• (C) Correta: A equipe D obteve 1 ponto. Conforme a reconstrução lógica dos resultados dos jogos com base nas pontuações de A, B e C, a equipe D empatou com A (1 ponto) e perdeu para B (0 pontos) e C (0 pontos), totalizando 1 ponto.

• (D) Incorreta: Se D tivesse 4 pontos, a soma total seria 7+4+4+4 = 19 pontos. Isso é impossível, pois o máximo de pontos que podem ser distribuídos em 6 jogos é 18 (se todos os jogos tivessem um vencedor).

• (E) Incorreta: (Armadilha da banca) Se D tivesse 3 pontos, a soma total seria 7+4+4+3 = 18 pontos. Esta seria a resposta se todos os 6 jogos tivessem um vencedor (3 pontos por jogo). No entanto, a pontuação de A (7 pontos, que exige 1 empate) e de B e C (4 pontos, que também exigem 1 empate cada) indica que houve empates no torneio. Empates distribuem 2 pontos no total (1+1), não 3, o que significa que o total de pontos distribuídos no torneio é menor que 18 se houver empates. Esta alternativa é tentadora se o aluno esquecer que empates reduzem o total de pontos distribuídos no torneio.