Questão de Raciocínio Lógico · FCC ALAP 2019 (nº 12)

O raciocínio lógico com conjuntos nos ajuda a organizar informações sobre grupos de elementos. Um subconjunto significa que todos os elementos de um grupo estão contidos em outro (ex: se A é subconjunto de B, todos que gostam de A também gostam de B). Conjuntos disjuntos não têm elementos em comum (ex: se A e B são disjuntos, ninguém gosta de A e B ao mesmo tempo).

Vamos analisar as condições e os dados:

1. "todos os que gostam de macarrão, gostam, também de pizza": Isso significa que o conjunto de quem gosta de macarrão (M) é um subconjunto do conjunto de quem gosta de pizza (P). Ou seja, $M \subset P$.
2. "nenhum dos que gosta de feijoada gosta, também, de macarrão": Os conjuntos de feijoada (F) e macarrão (M) são disjuntos, ou seja, $M \cap F = \emptyset$.
3. "cada um dos amigos gosta de, pelo menos, um desses pratos": A união de todos os conjuntos (M, P, F) é igual ao total de amigos, que é 50.
4. $N(P) = 38$ (número de pessoas que gostam de pizza).
5. $N(F) = 19$ (número de pessoas que gostam de feijoada).
6. "10 gostam só de pizza": Isso significa que 10 pessoas gostam de pizza, mas não gostam de macarrão e não gostam de feijoada.

Para resolver, vamos dividir o grupo de 50 amigos em regiões disjuntas (que não se sobrepõem), baseadas nas condições:

• Região 1: Gostam de Macarrão (M): Pessoas que gostam de macarrão. Pela condição 1, elas também gostam de pizza. Pela condição 2, elas não gostam de feijoada. Vamos chamar essa quantidade de $N(M)$.
• Região 2: Gostam de Pizza e Feijoada (P $\cap$ F): Pessoas que gostam de pizza e feijoada. Pela condição 2, elas não gostam de macarrão. Vamos chamar essa quantidade de $N(P \cap F)$.
• Região 3: Gostam SÓ de Pizza: Pessoas que gostam de pizza, mas não de macarrão e não de feijoada. Essa quantidade é dada: $N(P_{só}) = 10$.
• Região 4: Gostam SÓ de Feijoada (F$_{só}$): Pessoas que gostam de feijoada, mas não de pizza e não de macarrão. Vamos chamar essa quantidade de $N(F_{só})$.

A soma dessas quatro regiões deve ser o total de amigos:
$N(M) + N(P \cap F) + N(P_{só}) + N(F_{só}) = 50$ (Equação A)

Agora, vamos usar os dados fornecidos:

• Quem gosta de Pizza (P) é a soma das pessoas que gostam de macarrão (e, portanto, pizza), das que gostam de pizza e feijoada, e das que gostam só de pizza:
  $N(P) = N(M) + N(P \cap F) + N(P_{só})$
  $38 = N(M) + N(P \cap F) + 10$
  $N(M) + N(P \cap F) = 38 - 10$
  $N(M) + N(P \cap F) = 28$ (Equação 1)

• Quem gosta de Feijoada (F) é a soma das pessoas que gostam de pizza e feijoada, e das que gostam só de feijoada (lembre-se que ninguém gosta de macarrão e feijoada):
  $N(F) = N(P \cap F) + N(F_{só})$
  $19 = N(P \cap F) + N(F_{só})$ (Equação 2)

Agora, substituímos a Equação 1 na Equação A:
$(N(M) + N(P \cap F)) + N(P_{só}) + N(F_{só}) = 50$
$28 + 10 + N(F_{só}) = 50$
$38 + N(F_{só}) = 50$
$N(F_{só}) = 50 - 38$
$N(F_{só}) = 12$

Com o valor de $N(F_{só})$, podemos encontrar $N(P \cap F)$ usando a Equação 2:
$19 = N(P \cap F) + 12$
$N(P \cap F) = 19 - 12$
$N(P \cap F) = 7$

Finalmente, para encontrar o número de pessoas que gostam de macarrão ($N(M)$), usamos a Equação 1:
$N(M) + N(P \cap F) = 28$
$N(M) + 7 = 28$
$N(M) = 28 - 7$
$N(M) = 21$

(A) Incorreta: Chega-se a este valor por cálculos errados, como subtrair o número de pessoas que gostam de pizza e feijoada (7) do total de quem gosta de feijoada (19) e depois subtrair o resultado do total de pizza (38), sem considerar as condições de subconjunto e "só de".
(B) Incorreta: Este valor não se encaixa nas relações de conjuntos e totais estabelecidas pelas condições do problema.
(C) Incorreta: Este valor não se encaixa nas relações de conjuntos e totais estabelecidas pelas condições do problema.
(D) Correta: O número de pessoas que gostam de macarrão é 21. A solução é obtida ao decompor o problema em regiões disjuntas (que não se sobrepõem) no diagrama de Venn, usando as condições de subconjunto ($M \subset P$) e conjuntos disjuntos ($M \cap F = \emptyset$), e então resolvendo um sistema de equações com base nos totais fornecidos e na informação de "só de pizza". A armadilha da banca pode estar em confundir "gostam de pizza" com "gostam só de pizza", ou em não simplificar corretamente as relações de conjuntos (subconjunto e disjuntos) ao usar fórmulas gerais, levando a cálculos incorretos para as interseções ou uniões.
(E) Incorreta: Este valor não se encaixa nas relações de conjuntos e totais estabelecidas pelas condições do problema.