Questão de Engenharia de Telecomunicações · CESGRANRIO Transpetro PSP-RH-2018.1 (nº 65)

Conceito-chave: Para uma função ser uma densidade de probabilidade, a área total sob a curva dela, no intervalo onde a variável existe (aqui, de 0 a 1), deve ser exatamente 1. Isso significa que a integral da função no intervalo precisa valer 1, e é isso que determina o valor da constante a.

• (A) Incorreta: Se a fosse -1, a função ficaria negativa em parte do intervalo, o que é impossível para uma densidade (probabilidade não pode ser negativa).
• (B) Incorreta: Se a fosse 0, a função seria zero em todo o intervalo, e a área total seria 0, não 1 — não seria uma densidade válida.
• (C) Incorreta: Com a = 1, a integral $\int_0^1 x^3(1-x)\,dx$ dá $1/20$, não 1; a área seria pequena demais.
• (D) Incorreta: Armadilha da banca: muitos alunos calculam a integral de $x^3(1-x)$ e acham $1/20, então marcam essa alternativa achando que **a** é o resultado da integral. Mas o correto é que **a** é o fator que multiplica a integral para forçá-la a ser 1. Como a integral vale \1/20$, precisamos de$a \cdot (1/20) = 1$, logo$a = 20$.
• (E) Correta: Calculando $\int_0^1 x^3(1-x)\,dx = \int_0^1 (x^3 - x^4)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$. Para que a área total seja 1, temos $a \cdot \frac{1}{20} = 1 \Rightarrow a = 20$.