Questão de Matemática · CESGRANRIO Transpetro PSP-RH-2018.1 (nº 15)

Conceito-chave: Em um prisma triangular regular reto, a base é um triângulo equilátero. A área lateral de um prisma é o perímetro da base vezes a altura ($X = 3l \cdot h$). A área lateral de um cilindro é o comprimento da circunferência da base vezes a altura ($Y = 2\pi r \cdot h$). Como o cilindro está inscrito, o raio $r$ do círculo inscrito no triângulo equilátero é $r = \frac{l\sqrt{3}}{6}$ (onde $l$ é o lado do triângulo). A altura do cilindro é igual à altura do prisma ($h$).

• (A) Incorreta: $\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$ seria o resultado se você trocasse o raio pelo apótema ($\frac{l\sqrt{3}}{6}$) mas esquecesse de simplificar o 2 do denominador com o 2 do numerador da fórmula da circunferência, ou confundisse o raio com a altura do triângulo.
• (B) Incorreta: $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ é a armadilha clássica: o aluno usa $r = \frac{l\sqrt{3}}{3}$ (que é o raio do círculo circunscrito, não o inscrito) e chega a $\frac{2\pi \cdot \frac{l\sqrt{3}}{3} \cdot h}{3lh} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$, que simplificado errado dá $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$. A banca testa se você sabe que o círculo inscrito tem raio menor.
• (C) Correta: Substituindo $r = \frac{l\sqrt{3}}{6}$ em $Y = 2\pi r h$, temos $Y = 2\pi \cdot \frac{l\sqrt{3}}{6} \cdot h = \frac{\pi l h \sqrt{3}}{3}$. Como $X = 3lh$, a razão é $\frac{Y}{X} = \frac{\pi l h \sqrt{3}/3}{3lh} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.
• (D) Incorreta: $\frac{\pi}{\sqrt{3}}$ aparece se o aluno usa $r = \frac{l}{2}$ (metade do lado, como se fosse um quadrado) e depois racionaliza errado, ou confunde o perímetro do triângulo com $2l em vez de \3l$.
• (E) Incorreta: $\frac{9\pi}{\sqrt{3}}$ é o inverso da razão correta multiplicado por 3, típico de quem inverte $X/Y$ ou usa $r = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ (altura do triângulo) por engano.