Questão de Matemática · CESGRANRIO BASA 01/2013 (nº 15)

Uma progressão aritmética (PA) soma um valor fixo (a razão $r$) a cada termo; uma progressão geométrica (PG) multiplica cada termo por um valor fixo (a razão $q$). Aqui, a PG é criada colocando os termos da PA no expoente de uma potência de base 3, então a soma na PA vira multiplicação na PG — por isso $q$ será uma potência de 3.

• (A) Correta: $a_1=-2$, então $b_1=3^{-2}=\frac{1}{9}$. A razão da PG é $q=3^{r}=3^3=27$. Logo, $\frac{q}{b_1}=\frac{27}{1/9}=27 \times 9 = 243$.
• (B) Incorreta: 3 seria o valor de $q$ se a razão da PA fosse $r=1$, mas aqui $r=3$, então $q=3^3=27$, não 3.
• (C) Incorreta: $\frac{1}{243}$ é o inverso do resultado correto; quem erra costuma inverter a fração $\frac{q}{b_1}$ para $\frac{b_1}{q}$.
• (D) Incorreta: $-\frac{2}{3}$ mistura o primeiro termo da PA ($-2$) com a razão da PA ($3$) de forma incorreta, ignorando que$b_1$é uma potência de 3 e$q$ é positivo.
• (E) Incorreta: $-\frac{27}{6}$ simplifica para $-\frac{9}{2}$; é um distrator que usa o sinal negativo de $a_1$ e o valor de $q$ sem aplicar a exponenciação corretamente em $b_1$.

Armadilha do distrator mais tentador (C): a banca espera que o aluno calcule $b_1=3^{-2}=\frac{1}{9}$ e $q=3^3=27$, mas inverta a ordem na divisão, fazendo $\frac{b_1}{q}=\frac{1/9}{27}=\frac{1}{243}$. A ordem importa: a questão pede $\frac{q}{b_1}$, não $\frac{b_1}{q}$.