Questão de Matemática Financeira · CESGRANRIO BANRISUL 01/2022 (nº 28)

Conceito-chave: No regime de juros compostos, o montante cresce de forma exponencial: $M = C \cdot (1+i)^t$. Para descobrir o tempo necessário para atingir uma meta, precisamos usar logaritmo, que é a operação matemática que "isola" o expoente $t$ (o tempo). Aqui, a meta é $M > 600.000$, com capital $C = 200.000$ e taxa $i = 12\% = 0,12$ ao ano.

• (A) Incorreta: Com 8 anos, teríamos $M = 200.000 \cdot (1,12)^8$. Como $\log(1,12)^8 = 8 \cdot 0,049 = 0,392$, o montante seria $200.000 \cdot 10^{0,392} \approx 200.000 \cdot 2,47 = 494.000$, bem abaixo de 600 mil.
• (B) Correta: Precisamos de $200.000 \cdot (1,12)^t > 600.000 \Rightarrow (1,12)^t > 3$. Aplicando log: $t \cdot \log(1,12) > \log 3 \Rightarrow t \cdot 0,049 > 0,477 \Rightarrow t > \frac{0,477}{0,049} \approx 9,73$. Como o prazo é em anos inteiros, o mínimo é 10 anos (pois em 9 anos ainda não atinge a meta).
• (C) Incorreta: 12 anos é um valor acima do mínimo necessário (9,73), mas a questão pede o número mínimo de anos, então 10 já satisfaz. A pegadinha aqui é o aluno calcular $t \approx 9,73$ e arredondar para baixo (9) ou escolher um valor maior sem verificar o mínimo.
• (D) Incorreta: 14 anos é ainda mais distante do mínimo; quem marca isso provavelmente errou ao usar $\log 3$ como $0,477$e$\log 1,12 como \0,049$, mas dividiu incorretamente (ex.:$0,477 \div 0,049$feito como$0,477 \times 0,049$), gerando um número inflado.
• (E) Incorreta: 17 anos é um exagero; o erro típico é confundir a fórmula de juros simples ($M = C(1+it)$) com a de compostos, ou usar $\log$ na base 10 de forma equivocada, achando que precisa de muito mais tempo.

Armadilha do distrator mais tentador (C): A banca coloca 12 porque o aluno, ao achar $t \approx 9,73$, pode pensar "preciso de mais que 9, então 10", mas muitos erram ao arredondar para o inteiro superior errado (achando que 9,73 vira 10, mas depois duvidam e escolhem 12 por achar que "quase 10" não é suficiente). A pegadinha é: o logaritmo já dá o valor exato do tempo mínimo; qualquer valor inteiro acima de 9,73 serve, mas o mínimo é 10, não 12.