Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 20)

Uma equação diofantina é um tipo de equação em que buscamos soluções que sejam números inteiros (neste caso, positivos, pois representam quantidades de embalagens). O desafio é encontrar a combinação de embalagens que satisfaça o peso total e, ao mesmo tempo, minimize o número total de itens.

(A) Incorreta: Se o total de embalagens fosse 19 ($x+y=19$), ao substituir $x=19-y$ na equação principal $6x+11y=190$, teríamos$6(19-y)+11y=190 \implies 114-6y+11y=190 \implies 5y=76$. Isso resulta em$y=15,2$, que não é um número inteiro, portanto, 19 embalagens não é uma possibilidade. **(B) Correta:** Seja$x$o número de embalagens de 6 kg e$y o número de embalagens de 11 kg. A equação que representa o problema é \6x + 11y = 190$. Queremos encontrar valores inteiros e não negativos para$x$e$y$que minimizem a soma$x+y$. Para encontrar as soluções, podemos isolar$x: \6x = 190 - 11y$. Como $x$ deve ser inteiro, $190 - 11y$ deve ser um múltiplo de 6. Além disso, $y$ não pode ser maior que $190/11 \approx 17,27$, então $0 \le y \le 17$. Testando os valores de $y$:

• Se $y=2$, $6x = 190 - 22 = 168 \implies x=28$. Total de embalagens: $28+2=30$.
• Se $y=8$, $6x = 190 - 88 = 102 \implies x=17$. Total de embalagens: $17+8=25$.
• Se $y=14$, $6x = 190 - 154 = 36 \implies x=6$. Total de embalagens: $6+14=20$. Outros valores de$y$não resultam em$x$inteiro. Comparando os totais de embalagens possíveis (30, 25, 20), o menor número é 20. A **armadilha** aqui seria encontrar uma solução válida (como 30 ou 25) e parar, sem verificar se há um número menor de embalagens possível. **(C) Incorreta:** Se o total de embalagens fosse 21 ($x+y=21undefined5y=64$, o que resulta em$y=12,8$. Não é um número inteiro. **(D) Incorreta:** Se o total de embalagens fosse 22 ($x+y=22undefined5y=58$, o que resulta em$y=11,6$. Não é um número inteiro. **(E) Incorreta:** Se o total de embalagens fosse 23 ($x+y=23undefined5y=52$, o que resulta em$y=10,4$. Não é um número inteiro.