Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 20)

Para calcular a área de um polígono no plano cartesiano, podemos usar a fórmula do cadarço (ou fórmula de Gauss), que envolve somar e subtrair produtos das coordenadas dos vértices. Outra forma é decompor o polígono em figuras mais simples, como triângulos e/ou trapézios, e somar suas áreas.

Método 1: Fórmula do Cadarço
Listamos as coordenadas dos vértices em ordem (sentido horário ou anti-horário), repetindo o primeiro vértice no final:
$A(0, 1)$
$B(4, 8)$
$C(9, 6)$
$D(9, 1)$
$A(0, 1)$ (repetido)

A área $A$ é dada por:
$A = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$

Calculando a primeira soma (produtos "para baixo e para a direita"):
$S_1 = (0 \times 8) + (4 \times 6) + (9 \times 1) + (9 \times 1)$
$S_1 = 0 + 24 + 9 + 9 = 42$

Calculando a segunda soma (produtos "para cima e para a direita"):
$S_2 = (1 \times 4) + (8 \times 9) + (6 \times 9) + (1 \times 0)$
$S_2 = 4 + 72 + 54 + 0 = 130$

Agora, aplicamos a fórmula:
$A = \frac{1}{2} |S_1 - S_2|$
$A = \frac{1}{2} |42 - 130|$
$A = \frac{1}{2} |-88|$
$A = \frac{1}{2} \times 88 = 44$

Método 2: Decomposição em Triângulos
Podemos dividir o quadrilátero ABCD em dois triângulos usando uma diagonal, por exemplo, a diagonal BD.

1. Triângulo ABD: Vértices $A(0,1)$, $B(4,8)$, $D(9,1)$.
   A base AD está sobre a linha $y=1$. Seu comprimento é $9-0=9$. A altura relativa a essa base é a distância vertical do ponto B à linha$y=1$, que é$y_B - 1 = 8-1=7$. Área(ABD) =$\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 9 \times 7 = \frac{63}{2} = 31,5$.

2. Triângulo BCD: Vértices $B(4,8)$, $C(9,6)$, $D(9,1)$.
   A base CD está sobre a linha $x=9$. Seu comprimento é $y_C - y_D = 6-1=5$.
   A altura relativa a essa base é a distância horizontal do ponto B à linha $x=9$, que é $x_{CD} - x_B = 9-4=5$.
   Área(BCD) = $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12,5$.

A área total do quadrilátero ABCD é a soma das áreas dos dois triângulos:
Área(ABCD) = Área(ABD) + Área(BCD) = $31,5 + 12,5 = 44$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa pode ser resultado de erros de cálculo ou de uma suposição incorreta sobre a forma do quadrilátero, levando a uma fórmula inadequada. Por exemplo, se o aluno calculasse a área de um retângulo $9 \times 4 = 36$, o que não corresponde às coordenadas dadas.
• (B) Incorreta: Esta alternativa é resultado de erros de cálculo.
• (C) Incorreta: Esta alternativa pode ser obtida por um erro comum na fórmula do cadarço, como trocar coordenadas em um dos produtos. Por exemplo, se na primeira soma $x_2y_3$ fosse calculado como $4 \times 8 = 32$ (usando $y_B$ em vez de $y_C$), a $S_1$ seria $0+32+9+9=50$. Então,$A = \frac{1}{2} |50 - 130| = \frac{1}{2} |-80| = 40$. (Armadilha da banca)
• (D) Incorreta: Esta alternativa pode ser obtida se o aluno assumir que o quadrilátero é um trapézio com lados paralelos horizontais AD e BC, e erroneamente considerar as coordenadas $y_B=7$ e $y_C=7$ (em vez de $y_B=8$ e $y_C=6$). Nesse caso, as bases seriam $9-0=9 e \9-4=5, e a altura seria \7-1=6$. A área seria$\frac{1}{2} \times (9+5) \times 6 = \frac{1}{2} \times 14 \times 6 = 42$.
• (E) Correta: A área do quadrilátero ABCD é 44, conforme calculado pela fórmula do cadarço ou pela decomposição em triângulos.