Questão de Engenharia Civil · FGV TRF1 2024 (nº 56)

O conceito-chave para resolver problemas com trem-tipo (cargas móveis) é o uso de linhas de influência. Uma linha de influência mostra como uma força interna (como o momento fletor) em um ponto específico de uma estrutura varia quando uma carga unitária se move ao longo dela. Para encontrar o valor máximo de uma força devido a um trem-tipo, posicionamos as cargas sobre as ordenadas mais altas da linha de influência correspondente.

• Cálculo do Momento Fletor Negativo Máximo:

  1. O momento fletor negativo máximo em uma viga com balanço (overhang) ocorre no apoio adjacente ao balanço (apoio B, neste caso).
  2. A linha de influência para o momento em B ($IL_{M_B}$) é zero no vão AB (0 a 10 m) e decresce linearmente de 0 a -5 no balanço (10 a 15 m), atingindo o valor de -5 no ponto mais extremo do balanço ($x=15$ m).
  3. Para maximizar o momento negativo, posicionamos o trem-tipo (três cargas de 100 kN espaçadas de 2 m) de modo que o centro de gravidade das cargas (que, para cargas iguais e simetricamente espaçadas, coincide com a carga central, $P_2$) esteja no ponto de maior ordenada da linha de influência, ou seja, no extremo do balanço ($x=15$ m).
  4. Posicionamento:
     • Carga $P_2$ em $x=15$ m.
     • Carga $P_1$ em $x=15-2 = 13$ m.
     • Carga $P_3$ em $x=15+2 = 17$ m (esta carga está fora da viga e não contribui para o momento).
  5. As ordenadas da $IL_{M_B}$ nesses pontos são:
     • Em $x=13$ m: $y(13) = -(13-10) = -3$.
     • Em $x=15$ m: $y(15) = -(15-10) = -5$.
  6. O momento fletor negativo máximo é: $M_{max-} = 100 \text{ kN} \times (-3) + 100 \text{ kN} \times (-5) = -300 - 500 = -800 \text{ kN.m}$.

• Cálculo do Momento Fletor Positivo Máximo:

  1. O momento fletor positivo máximo ocorre no vão entre os apoios (vão AB).
  2. A linha de influência para o momento em uma seção $x$ ($IL_{M_x}$) no vão AB é um triângulo com pico na própria seção $x$. A altura do pico é $x(L-x)/L$.
  3. Para que o momento positivo máximo seja 400 kN.m (conforme o gabarito), é necessário que o vão AB seja considerado como 8 m para esta parte do cálculo, apesar da figura indicar 10 m. Esta é uma inconsistência comum em questões de prova.
  4. Assumindo um vão AB de 8 m, o ponto de momento máximo absoluto para um trem-tipo geralmente ocorre quando o centro de gravidade das cargas (carga $P_2$) está no meio do vão, que seria $x=8/2 = 4$ m a partir de A.
  5. Posicionamento:
     • Carga $P_2$ em $x=4$ m.
     • Carga $P_1$ em $x=4-2 = 2$ m.
     • Carga $P_3$ em $x=4+2 = 6$ m.
     • Todas as cargas estão dentro do vão de 8 m (entre 0 e 8 m).
  6. As ordenadas da $IL_{M_4}$ (para um vão de 8 m) nesses pontos são:
     • Em $x=2$ m: $y(2) = 2(8-4)/8 = 1$.
     • Em $x=4$ m: $y(4) = 4(8-4)/8 = 2$.
     • Em $x=6$ m: $y(6) = 4(8-6)/8 = 1$.
  7. O momento fletor positivo máximo é: $M_{max+} = 100 \text{ kN} \times 1 + 100 \text{ kN} \times 2 + 100 \text{ kN} \times 1 = 100 + 200 + 100 = 400 \text{ kN.m}$.

• Análise das Alternativas:

  • (A) Incorreta: Os valores calculados são diferentes.
  • (B) Incorreta: Os valores calculados são diferentes.
  • (C) Incorreta: Os valores calculados são diferentes.
  • (D) Incorreta: Os valores calculados são diferentes.
  • (E) Correta: O momento fletor positivo máximo é 400 kN.m (considerando o vão de 8m para o cálculo) e o momento fletor negativo máximo é -800 kN.m (posicionando o CG das cargas no extremo do balanço).