Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 20)

Para descobrir a quantidade de algarismos de um número inteiro, usamos o logaritmo na base 10. A quantidade de algarismos é igual à parte inteira do $\log_{10}$ desse número, somada com 1. A parte inteira (ou "piso", $\lfloor x \rfloor$) de um número é o maior número inteiro menor ou igual a ele.

Para $2^{30}$, precisamos calcular $\log_{10}(2^{30})$.
Usando a propriedade de logaritmos $\log(A^B) = B \cdot \log(A)$, temos:
$\log_{10}(2^{30}) = 30 \cdot \log_{10} 2$.
Sabendo que $\log_{10} 2 \approx 0.30103$:
$\log_{10}(2^{30}) = 30 \cdot 0.30103 = 9.0309$.
Agora, aplicamos a fórmula: quantidade de algarismos = $\lfloor \log_{10}(2^{30}) \rfloor + 1$.
Quantidade de algarismos = $\lfloor 9.0309 \rfloor + 1 = 9 + 1 = 10$.

(A) Incorreta: O cálculo do logaritmo e a aplicação da fórmula não resultam em 7.
(B) Incorreta: O cálculo do logaritmo e a aplicação da fórmula não resultam em 8.
(C) Incorreta: Este é o distrator mais tentador. O valor 9 é a parte inteira do logaritmo ($\lfloor 9.0309 \rfloor = 9$), mas a fórmula para a quantidade de algarismos exige que se some 1 a esse valor. A armadilha da banca é fazer o aluno esquecer de adicionar 1 no final.
(D) Correta: Conforme o cálculo, $\log_{10}(2^{30}) \approx 9.0309$. A quantidade de algarismos é $\lfloor 9.0309 \rfloor + 1 = 9 + 1 = 10$.
(E) Incorreta: O cálculo do logaritmo e a aplicação da fórmula não resultam em 11.