Questão de Auditoria de Obras Hídricas e Saneamento · FGV TCE-PI 2021 (nº 100)

A vazão em um rio é o volume de água que passa por uma seção transversal por unidade de tempo, calculada multiplicando a velocidade média da água pela área da seção. O método da meia seção (ou método do ponto médio) é uma técnica comum para estimar a vazão, dividindo a seção transversal em trechos e somando as vazões parciais de cada um.

1. Cálculo da Velocidade Média (V_média) em cada vertical: Para medições a 0,2 e 0,8 da profundidade total, a velocidade média na vertical é a média aritmética dessas duas medições.

   • V1 = 0 m/s (profundidade 0)
   • V2 = (0.5 + 0.4) / 2 = 0.45 m/s
   • V3 = (0.8 + 0.7) / 2 = 0.75 m/s
   • V4 = (1.0 + 0.9) / 2 = 0.95 m/s
   • V5 = (0.6 + 0.5) / 2 = 0.55 m/s
   • V6 = 0 m/s (profundidade 0)

2. Cálculo da Área Total da Seção (A_total): A área total pode ser calculada pela regra do trapézio para as profundidades e distâncias.

   • A_total = $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{h_i + h_{i+1}}{2} \times (x_{i+1} - x_i)$
   • A_total = $\frac{0+1}{2}(2-0) + \frac{1+1.5}{2}(4-2) + \frac{1.5+2}{2}(6-4) + \frac{2+1.5}{2}(8-6) + \frac{1.5+0}{2}(10-8)$
   • A_total = 1.0 + 2.5 + 3.5 + 3.5 + 1.5 = 12.0 \text{ m²}\

3. Cálculo da Vazão pelo Método da Meia Seção (Padrão): O método da meia seção calcula a vazão de cada trecho ($q_i = V_{média_i} \times A_i$), onde $A_i = h_i \times L_i$ e $L_i$ é a largura associada à vertical $i$.

   • $L_1 = (x_2 - x_1) / 2 = (2-0)/2 = 1.0 \text{ m}$
   • $L_2 = (x_3 - x_1) / 2 = (4-0)/2 = 2.0 \text{ m}$ (ou $(x_2-x_1)/2 + (x_3-x_2)/2$)
   • $L_3 = (x_4 - x_2) / 2 = (6-2)/2 = 2.0 \text{ m}$
   • $L_4 = (x_5 - x_3) / 2 = (8-4)/2 = 2.0 \text{ m}$
   • $L_5 = (x_6 - x_4) / 2 = (10-6)/2 = 2.0 \text{ m}$
   • $L_6 = (x_6 - x_5) / 2 = (10-8)/2 = 1.0 \text{ m}$
   • $q_1 = 0 \times 0 \times 1.0 = 0 \text{ m³/s}$
   • $q_2 = 0.45 \times 1.0 \times 2.0 = 0.9 \text{ m³/s}$
   • $q_3 = 0.75 \times 1.5 \times 2.0 = 2.25 \text{ m³/s}$
   • $q_4 = 0.95 \times 2.0 \times 2.0 = 3.8 \text{ m³/s}$
   • $q_5 = 0.55 \times 1.5 \times 2.0 = 1.65 \text{ m³/s}$
   • $q_6 = 0 \times 0 \times 1.0 = 0 \text{ m³/s}$
   • Vazão Total (pelo método da meia seção padrão) = $0 + 0.9 + 2.25 + 3.8 + 1.65 + 0 = 8.6 \text{ m³/s}$.

Como o gabarito oficial é 11,4 m³/s, e o cálculo padrão do método da meia seção resulta em 8,6 m³/s, a questão provavelmente espera uma interpretação não-padrão ou um método diferente, mas que é o único que leva ao gabarito com os dados fornecidos. A única forma de obter 11,4 m³/s com os dados é multiplicar a área total da seção pela velocidade média máxima observada em uma das verticais.

4. Cálculo da Vazão (Método que leva ao Gabarito):
   • Velocidade Média Máxima (V_média_máx) = 0.95 m/s (observada na vertical 4).
   • Vazão = $V_{média\_máx} \times A_{total} = 0.95 \text{ m/s} \times 12.0 \text{ m²} = 11.4 \text{ m³/s}$.

Embora este cálculo não seja o "método da meia seção" padrão, é a única forma de chegar ao gabarito fornecido. A "pegadinha" da banca reside em solicitar um método específico ("meia seção") mas ter um gabarito que só é alcançado por uma aplicação não-padrão ou por um método diferente.

• (A) Incorreta: Esta alternativa (5,4 m³/s) seria obtida se a vazão fosse calculada multiplicando a área total pela média de todas as velocidades médias (incluindo as zero das margens): $(0+0.45+0.75+0.95+0.55+0)/6 \times 12.0 = 0.45 \times 12.0 = 5.4 \text{ m³/s}$. É um distrator comum, mas não é o método da meia seção.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (7,6 m³/s) é próxima do resultado do método da seção média (ou método da média das seções), que calcula a vazão em cada segmento entre duas verticais usando a média das velocidades e profundidades dessas verticais. O cálculo resulta em aproximadamente 7.74 m³/s.
• (C) Incorreta: Esta alternativa (10,8 m³/s) é próxima de um cálculo onde a largura total do rio (10 m) é dividida igualmente entre as verticais com profundidade diferente de zero (verticais 2, 3, 4, 5), resultando em uma largura de 10 m / 4 = 2.5 m para cada uma. A soma das vazões seria $0.45 \times 1.0 \times 2.5 + 0.75 \times 1.5 \times 2.5 + 0.95 \times 2.0 \times 2.5 + 0.55 \times 1.5 \times 2.5 = 1.125 + 2.8125 + 4.75 + 2.0625 = 10.75 \text{ m³/s}$. É um distrator tentador.
• (D) Correta: A vazão de 11,4 m³/s é obtida multiplicando a área total da seção (12.0 m²) pela velocidade média máxima observada em uma das verticais (0.95 m/s na vertical 4). Embora o problema solicite o "método da meia seção", que por definição padrão resultaria em 8,6 m³/s, esta é a única interpretação que leva ao gabarito fornecido pela banca. A armadilha é que a banca usa o termo "método da meia seção" para um cálculo que não corresponde à sua definição padrão, mas sim a uma simplificação ou erro conceitual de usar a velocidade máxima como representativa de toda a seção.
• (E) Incorreta: Esta alternativa (15,8 m³/s) não corresponde a nenhum método padrão ou erro comum de cálculo com os dados fornecidos.