Questão de Raciocínio Lógico · FGV TCE-BA 2023 (nº 19)

Para resolver este problema, o conceito-chave é que o centro de uma circunferência tangente a duas retas perpendiculares (como os lados de um retângulo) está na bissetriz do ângulo formado por essas retas, e sua distância a cada reta é igual ao seu raio. Além disso, a condição de a circunferência estar no interior do retângulo impõe limites ao seu raio.

Vamos definir um sistema de coordenadas: seja o vértice A na origem (0,0). Assim, B=(6,0), C=(6,4) e D=(0,4). O raio de ambas as circunferências é $r$.

1. Circunferência 1 (C1): É tangente aos lados DA (eixo y, $x=0$) e DC (reta $y=4$).

   • Seu centro O1 estará a uma distância $r$ de $x=0$ e a uma distância $r$ de $y=4$. Portanto, $O1 = (r, 4-r)$.
   • Para C1 estar no interior do retângulo, suas coordenadas devem satisfazer:
     • $r \le x_{O1} \le 6-r \implies r \le r \le 6-r \implies 2r \le 6 \implies r \le 3$.
     • $r \le y_{O1} \le 4-r \implies r \le 4-r \le 4-r \implies 2r \le 4 \implies r \le 2$.
   • Assim, para C1, o raio $r$ deve ser $r \le 2$.

2. Circunferência 2 (C2): É tangente aos lados BA (eixo x, $y=0$) e BC (reta $x=6$).

   • Seu centro O2 estará a uma distância $r$ de $y=0$ e a uma distância $r$ de $x=6$. Portanto, $O2 = (6-r, r)$.
   • Para C2 estar no interior do retângulo, suas coordenadas devem satisfazer:
     • $r \le x_{O2} \le 6-r \implies r \le 6-r \le 6-r \implies 2r \le 6 \implies r \le 3$.
     • $r \le y_{O2} \le 4-r \implies r \le r \le 4-r \implies 2r \le 4 \implies r \le 2$.
   • Assim, para C2, o raio $r$ também deve ser $r \le 2$.

3. Distância entre os centros: A distância entre O1 e O2 é 4.

   • $O1 = (r, 4-r)$ e $O2 = (6-r, r)$.
   • Usando a fórmula da distância: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
   • $4 = \sqrt{((6-r)-r)^2 + (r-(4-r))^2}$
   • $4 = \sqrt{(6-2r)^2 + (2r-4)^2}$
   • Elevando ambos os lados ao quadrado: $16 = (6-2r)^2 + (2r-4)^2$
   • $16 = (36 - 24r + 4r^2) + (4r^2 - 16r + 16)$
   • $16 = 8r^2 - 40r + 52$
   • $0 = 8r^2 - 40r + 36$
   • Dividindo por 4: $2r^2 - 10r + 9 = 0$.

4. Resolvendo a equação quadrática para $r$:

   • Usando a fórmula de Bhaskara: $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $r = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(2)(9)}}{2(2)}$
   • $r = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{4}$
   • $r = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{4}$
   • Como $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$:
   • $r = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{4}$
   • $r = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{2}$.

5. Aplicando a condição $r \le 2$:

   • Temos duas possíveis soluções para $r$:
     • $r_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$. Como $\sqrt{7} \approx 2.64$, $r_1 \approx \frac{5 + 2.64}{2} = \frac{7.64}{2} = 3.82$. Este valor é maior que 2, portanto, não é um raio válido para uma circunferência totalmente no interior do retângulo.
     • $r_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}$. Como $\sqrt{7} \approx 2.64$, $r_2 \approx \frac{5 - 2.64}{2} = \frac{2.36}{2} = 1.18$. Este valor é menor ou igual a 2, portanto, é o raio válido.

6. Calculando o diâmetro: O diâmetro é $2r$.

   • Diâmetro $= 2 \times \left(\frac{5 - \sqrt{7}}{2}\right) = 5 - \sqrt{7}$.

• (A) Incorreta: O valor $4 - \sqrt{2}$ não é obtido a partir da resolução da equação quadrática correta para o raio.
• (B) Incorreta: O valor $4 - \sqrt{3}$ não é obtido a partir da resolução da equação quadrática correta para o raio.
• (C) Incorreta: Este valor ($5 - \sqrt{5}$) seria o diâmetro se a equação quadrática fosse $2r^2 - 10r + 10 = 0$ (ou $r^2 - 5r + 5 = 0$), o que poderia ocorrer por um erro aritmético na simplificação da equação $8r^2 - 40r + 52 = 16$ (se $52-16 fosse erroneamente calculado como \40 em vez de \36$). É um distrator comum para erros de cálculo.
• (D) Correta: O diâmetro é $5 - \sqrt{7}$, conforme calculado pela resolução da equação quadrática $2r^2 - 10r + 9 = 0$ e a aplicação da condição de que o raio deve ser menor ou igual a 2 para que as circunferências estejam no interior do retângulo.
• (E) Incorreta: O valor $6 - \sqrt{10}$ não é obtido a partir da resolução da equação quadrática correta para o raio.