Questão de Raciocínio Lógico · FGV TCE-BA 2023 (nº 16)

Para arranjar itens onde alguns grupos devem seguir uma ordem predefinida, o problema se resolve escolhendo as posições para esses grupos; a ordem interna deles já está fixada, sobrando apenas 1 maneira de preenchê-los. Alternativamente, podemos dividir o total de permutações pelo fatorial do número de elementos de cada grupo que deve manter uma ordem específica.

As letras da palavra BRASIL são B, R, A, S, I, L.
Vogais: A, I (2 letras). Devem aparecer na ordem A, I.
Consoantes: B, R, S, L (4 letras). Devem aparecer na ordem B, L, R, S.

Método 1: Escolha de posições
Temos 6 posições para preencher.

1. Escolha 2 posições das 6 para as vogais. Isso pode ser feito de $C(6, 2)$ maneiras.
   $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
2. Uma vez escolhidas as 2 posições para as vogais, por exemplo, a 2ª e a 5ª posição, a vogal 'A' obrigatoriamente vai para a 2ª posição e a vogal 'I' para a 5ª (pois devem estar em ordem alfabética A, I). Há apenas 1 maneira de fazer isso.
3. As 4 posições restantes são automaticamente destinadas às consoantes.
4. Uma vez escolhidas as 4 posições para as consoantes, por exemplo, a 1ª, 3ª, 4ª e 6ª, as consoantes 'B', 'L', 'R', 'S' obrigatoriamente vão para a 1ª, 3ª, 4ª e 6ª posições, respectivamente (pois devem estar em ordem alfabética B, L, R, S). Há apenas 1 maneira de fazer isso.
   Portanto, o número total de sequências é $15 \times 1 \times 1 = 15$.

Método 2: Divisão por fatoriais
O número total de permutações de 6 letras distintas é $6!undefined2!undefined4!$. Assim,$N = \frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15$.

(A) Incorreta: 720 seria o número total de permutações das 6 letras sem nenhuma restrição de ordem. Esta é a armadilha da banca, pois é o resultado de ignorar completamente as condições do problema.
(B) Incorreta: 360 seria o resultado se apenas as vogais tivessem que estar em ordem alfabética ($6!/2! = 720/2 = 360), ignorando a restrição das consoantes. **(C) Incorreta:** 120 não corresponde a nenhuma operação lógica direta com as restrições dadas. **(D) Incorreta:** 30 seria o resultado se apenas as consoantes tivessem que estar em ordem alfabética (\6!/4! = 720/24 = 30$), ignorando a restrição das vogais. **(E) Correta:** 15 é o resultado correto, obtido ao considerar que tanto as 2 vogais (A, I) quanto as 4 consoantes (B, L, R, S) devem aparecer em suas respectivas ordens alfabéticas, o que leva a$C(6, 2)$ou$6! / (2! \times 4!)$.