Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SSP-AM 2021 (nº 29)

O conceito-chave aqui é a propriedade da mediana em um triângulo retângulo: a mediana (segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto) que parte do ângulo reto até a hipotenusa (o lado mais longo, oposto ao ângulo reto) tem metade do comprimento da própria hipotenusa. Isso também significa que o ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices do triângulo.

• (A) Correta: A mediana $AM$ relativa à hipotenusa $BC$ mede 3 cm. Pela propriedade fundamental, $AM = MB = MC = 3$ cm. Assim, a hipotenusa $BC = MB + MC = 3 + 3 = 6$ cm. O triângulo $AMB$ é isósceles ($AM=MB$), e como $\angle ABC = 75^\circ$, então $\angle MAB = \angle MBA = 75^\circ$. A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, então $\angle AMB = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Os ângulos $\angle AMB$ e $\angle AMC$ são suplementares (formam uma linha reta), então $\angle AMC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. A área do triângulo $ABC$ é a soma das áreas dos triângulos $AMB$ e $AMC$.
  Área($AMB$) $= \frac{1}{2} \times AM \times MB \times \sin(\angle AMB) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin(30^\circ) = \frac{9}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$ cm$^2$.
  Área($AMC$) $= \frac{1}{2} \times AM \times MC \times \sin(\angle AMC) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin(150^\circ) = \frac{9}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$ cm$^2$ (pois $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$).
  A área total é Área($ABC$) = Área($AMB$) + Área($AMC$) = $\frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ cm$^2$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa pode surgir de um erro de cálculo, talvez usando $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ em vez de $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ para os ângulos de $30^\circ$ ou $150^\circ$, ou por uma interpretação incorreta dos lados e ângulos. A armadilha aqui é que o ângulo de $75^\circ$ pode levar o aluno a tentar usar valores trigonométricos complexos para $75^\circ$ e $15^\circ$ diretamente, em vez de simplificar a geometria usando a propriedade da mediana e os ângulos suplementares, que resultam em senos de $30^\circ$ e $150^\circ$.
• (C) Incorreta: Assim como a alternativa B, esta também contém $\sqrt{3}$, indicando um possível erro trigonométrico ou de cálculo de proporção.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos. Pode ser resultado de uma suposição incorreta sobre as dimensões do triângulo ou de uma fórmula de área equivocada.
• (E) Incorreta: O valor 6 é o comprimento da hipotenusa $BC$. A área de um triângulo é uma medida de superfície, não de comprimento, e não pode ser igual ao comprimento de um de seus lados.