Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SSP-AM 2021 (nº 23)

Para resolver problemas de contagem como este, usamos o Princípio Multiplicativo, que nos permite calcular o número total de possibilidades combinando as possibilidades de cada etapa. Também usamos conceitos de Análise Combinatória: Combinação (quando a ordem não importa) e Arranjo (quando a ordem importa).

Vamos dividir a construção da senha em etapas:

1. Escolher as posições para os dois 'noves' (9): A senha tem 4 dígitos. Precisamos escolher 2 dessas 4 posições para colocar o dígito '9'. A ordem em que escolhemos as posições para os '9's não importa (colocar '9' na 1ª e depois na 2ª é o mesmo que na 2ª e depois na 1ª). Isso é uma Combinação de 4 posições tomadas 2 a 2:
   $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ maneiras.

2. Escolher e posicionar os outros dois dígitos: As duas posições restantes devem ser preenchidas com dígitos que não são '9' e são diferentes entre si.

   • Os dígitos disponíveis (que não são '9') são {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, totalizando 9 opções.
   • Para a primeira posição restante, temos 9 opções de escolha.
   • Para a segunda posição restante, como o dígito deve ser diferente do primeiro escolhido, temos 8 opções de escolha.
   • A ordem desses dois dígitos importa (por exemplo, 0959 é diferente de 5909). Isso é um Arranjo de 9 dígitos tomados 2 a 2:
     $P(9, 2) = \frac{9!}{(9-2)!} = 9 \times 8 = 72$ maneiras.

3. Calcular o número total de senhas: Pelo Princípio Multiplicativo, multiplicamos o número de maneiras de cada etapa:
   Total de senhas = (Maneiras de posicionar os '9's) $\times$ (Maneiras de escolher e posicionar os outros dígitos)
   Total de senhas = $6 \times 72 = 432$.

Agora, vamos analisar as alternativas:

• (A) Incorreta: 432 não é menor que 300.
• (B) Incorreta: 432 não está entre 300 e 350.
• (C) Incorreta: 432 não está entre 351 e 400.
• (D) Correta: 432 está entre 401 e 450. O cálculo de $C(4,2) \times P(9,2) = 6 \times 72 = 432$ se encaixa perfeitamente neste intervalo.
• (E) Incorreta: 432 não é maior que 451.

Armadilha comum (distrator mais tentador): O erro mais comum seria considerar que a ordem dos dois dígitos diferentes de '9' não importa, tratando-os como uma combinação $C(9, 2)$ em vez de um arranjo $P(9, 2)$. Se fosse $C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$, o total seria $6 \times 36 = 216$. Este valor é menor que 300, o que levaria à alternativa (A). No entanto, a posição dos dígitos na senha é importante (0959 é diferente de 5909), então a ordem dos dígitos não '9' importa, caracterizando um arranjo.