Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SMF-RJ 2023 - Manhã (P1) (nº 27)

A distribuição normal descreve como dados se espalham em torno de uma média, formando uma curva em forma de sino. Para comparar probabilidades entre diferentes distribuições normais, usamos a padronização (ou escore Z), que transforma qualquer valor de uma variável normal em um valor na distribuição normal padrão (com média 0 e desvio-padrão 1) usando a fórmula $Z = (X - \mu) / \sigma$.

• $X_1 \sim N(\mu_1=2, \sigma_1=4)$
• $X_2 \sim N(\mu_2=1, \sigma_2=2)$

Cálculos de Padronização (Z-score):

• Para $X_1$: $Z_1 = (X_1 - 2) / 4$
• Para $X_2$: $Z_2 = (X_2 - 1) / 2$

Análise das Alternativas:

(A) Correta:

• $P\{X_1<3,6\}$: $Z = (3,6 - 2) / 4 = 1,6 / 4 = 0,4$. Então, $P\{X_1<3,6\} = P\{Z < 0,4\}$.
• $P\{X_2<1,8\}$: $Z = (1,8 - 1) / 2 = 0,8 / 2 = 0,4$. Então, $P\{X_2<1,8\} = P\{Z < 0,4\}$.
  Como ambos os valores padronizados (Z-scores) são iguais a 0,4, as probabilidades são iguais.

(B) Incorreta:

• A alternativa afirma $P\{Z < 0,4\} = 1 - P\{Z < 0,4\}$. Isso implicaria que $2 \times P\{Z < 0,4\} = 1$, ou $P\{Z < 0,4\} = 0,5$. No entanto, $P\{Z < 0,4\}$ é maior que 0,5 (pois 0,4 é um valor positivo na distribuição normal padrão, cuja média é 0). A armadilha aqui é confundir a propriedade de simetria $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$ ou $P(Z < z) = 1 - P(Z > z)$ com a expressão dada.

(C) Incorreta:

• $P\{X_1<1,8\}$: $Z = (1,8 - 2) / 4 = -0,2 / 4 = -0,05$. Então, $P\{X_1<1,8\} = P\{Z < -0,05\}$.
• $P\{X_2<3,6\}$: $Z = (3,6 - 1) / 2 = 2,6 / 2 = 1,3$. Então, $P\{X_2<3,6\} = P\{Z < 1,3\}$.
  Os valores padronizados são diferentes ($-0,05 \neq 1,3$), portanto as probabilidades não são iguais.

(D) Incorreta:

• A alternativa afirma $P\{Z < -0,05\} = 1 - P\{Z < 1,3\}$. $P\{Z < -0,05\}$ é um valor ligeiramente menor que 0,5, enquanto $1 - P\{Z < 1,3\}$ é um valor bem menor que 0,5 (pois $P\{Z < 1,3\}$ é um valor bem maior que 0,5). Os valores não são iguais.

(E) Incorreta:

• $P\{X_1<-1,8\}$: $Z = (-1,8 - 2) / 4 = -3,8 / 4 = -0,95$. Então, $P\{X_1<-1,8\} = P\{Z < -0,95\}$.
• $P\{X_2<-3,6\}$: $Z = (-3,6 - 1) / 2 = -4,6 / 2 = -2,3$. Então, $P\{X_2<-3,6\} = P\{Z < -2,3\}$.
  Os valores padronizados são diferentes ($-0,95 \neq -2,3$), portanto as probabilidades não são iguais.