Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SMF-RJ 2023 - Manhã (P1) (nº 23)

Um quadrado inscrito em uma circunferência tem seus vértices tocando a circunferência, enquanto um quadrado circunscrito tem seus lados tangenciando a circunferência.

• (A) Incorreta: Esta razão (4) ocorreria se a área do quadrado inscrito fosse $R^2$ (lado $R$), o que não é o caso. A diagonal do quadrado inscrito é o diâmetro da circunferência.
• (B) Incorreta: Esta razão não corresponde às relações geométricas entre os quadrados e a circunferência.
• (C) Incorreta: Esta razão não corresponde às relações geométricas entre os quadrados e a circunferência.
• (D) Incorreta: Esta razão não corresponde às relações geométricas entre os quadrados e a circunferência.
• (E) Correta: Seja $R$ o raio da circunferência.
  • Para o quadrado circunscrito Q: Seus lados são tangentes à circunferência. Isso significa que o lado de Q ($l_Q$) é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, $l_Q = 2R$. A área de Q ($A_Q$) é $l_Q^2 = (2R)^2 = 4R^2$.
  • Para o quadrado inscrito q: Seus vértices estão sobre a circunferência. A diagonal de q ($d_q$) é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, $d_q = 2R$. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado $l_q$ é $l_q\sqrt{2}$. Assim, $l_q\sqrt{2} = 2R \implies l_q = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. A área de q ($A_q$) é $l_q^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.
  • A razão entre a área de Q e a área de q é $\frac{A_Q}{A_q} = \frac{4R^2}{2R^2} = 2$.