Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SMF-RJ 2023 - Manhã (P1) (nº 22)

Juros Simples calculam os juros apenas sobre o valor inicial (capital), enquanto Juros Compostos calculam os juros sobre o valor inicial mais os juros acumulados em períodos anteriores, gerando "juros sobre juros".

Para resolver a questão, calculamos a diferença entre o montante a juros compostos e o montante a juros simples, ou, de forma mais direta, a diferença entre os juros gerados por cada regime.
O montante a juros simples é $M_S = P(1 + i \cdot n)$.
O montante a juros compostos é $M_C = P(1 + i)^n$.
A diferença entre os juros compostos e os juros simples é $JC - JS = (M_C - P) - (M_S - P) = M_C - M_S$.
Usando a aproximação $(1+x)^n \approx 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2$, substituímos $x$ por $i$:
$M_C \approx P \left(1 + n \cdot i + \frac{n(n-1)}{2}i^2 \right)$.
$M_S = P(1 + n \cdot i)$.
A diferença $M_C - M_S \approx P \left(1 + n \cdot i + \frac{n(n-1)}{2}i^2 \right) - P(1 + n \cdot i)$.
Diferença $\approx P \left(1 + n \cdot i + \frac{n(n-1)}{2}i^2 - (1 + n \cdot i) \right)$.
Diferença $\approx P \left(\frac{n(n-1)}{2}i^2 \right)$.

Dados:
Principal (P) = R$ 1.000,00
Taxa diária (i) = 0,2% = 0,002
Número de dias (n) = 50

Substituindo os valores na fórmula da diferença:
Diferença $\approx 1000 \cdot \frac{50(50-1)}{2}(0,002)^2$
Diferença $\approx 1000 \cdot \frac{50 \cdot 49}{2}(0,000004)$
Diferença $\approx 1000 \cdot \frac{2450}{2}(0,000004)$
Diferença $\approx 1000 \cdot 1225 \cdot 0,000004$
Diferença $\approx 1225000 \cdot 0,000004$
Diferença $\approx 4,90$

O valor de R$ 4,90 está situado entre R$ 4,50 e R$ 5,00.

(A) Incorreta: O valor calculado de R$ 4,90 não se encontra neste intervalo.
(B) Incorreta: O valor calculado de R$ 4,90 não se encontra neste intervalo.
(C) Incorreta: O valor calculado de R$ 4,90 não se encontra neste intervalo.
(D) Correta: O valor calculado da diferença entre os juros compostos e os juros simples, utilizando a aproximação fornecida, é de R$ 4,90, que está contido no intervalo entre R$ 4,50 e R$ 5,00. A armadilha mais comum seria um erro de cálculo, como esquecer o termo $(n-1)$ na fórmula da aproximação, usando $n^2/2$ em vez de $n(n-1)/2$, o que resultaria em R$ 5,00, levando a uma escolha incorreta ou a um intervalo diferente.
(E) Incorreta: O valor calculado de R$ 4,90 não se encontra neste intervalo, pois é menor que R$ 5,00.